Determinar o valor de n para que o vetor V= (n, 2/5, 4/5) seja unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de $ n $ de forma que o vetor $ \mathbf{V} = (n, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}) $ seja unitário. Um vetor unitário é aquele que tem magnitude (ou módulo) igual a 1. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da magnitude de um vetor no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a magnitude de um vetor $ \mathbf{V} = (x, y, z) $. A fórmula é:
Aqui, $ x $, $ y $ e $ z $ são as componentes do vetor.
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao nosso vetor $ \mathbf{V} = (n, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}) $, temos:
Passo 4
Como queremos que o vetor seja unitário, a magnitude deve ser igual a 1. Então, igualamos a expressão a 1:
Vamos resolver essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando os quadrados das frações:
Somando as frações:
Simplificando a fração:
Subtraindo $ \frac{4}{5} $ de ambos os lados:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ n $:
Resposta
O valor de $ n $ que faz o vetor $ \mathbf{V} = (n, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}) $ ser unitário é: