Determinar o valor de n para que o vetor V= (n, 2/5, 4/5) seja unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de $ n $ de forma que o vetor $ \mathbf{V} = (n, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}) $ seja unitário. Um vetor unitário é aquele que tem magnitude (ou módulo) igual a 1. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da magnitude de um vetor no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a magnitude de um vetor $ \mathbf{V} = (x, y, z) $. A fórmula é:
V = (x, y, z)
Aqui, $ x $, $ y $ e $ z $ são as componentes do vetor.

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso vetor $ \mathbf{V} = (n, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}) $, temos:
V = (n, 25, 45)

Passo 4

Como queremos que o vetor seja unitário, a magnitude deve ser igual a 1. Então, igualamos a expressão a 1:
raizn^2 + (25)^2 + (45)^2 = 1
Vamos resolver essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
n^2 + (25)^2 + (45)^2 = 1^2
Calculando os quadrados das frações:
n^2 + 425 + 1625 = 1
Somando as frações:
n^2 + 2025 = 1
Simplificando a fração:
n^2 + 45 = 1
Subtraindo $ \frac{4}{5} $ de ambos os lados:
45
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ n $:
n^2 = 1 - 45 = 15

Resposta

O valor de $ n $ que faz o vetor $ \mathbf{V} = (n, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}) $ ser unitário é:
n

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