Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para o espaço que inclua o vetor . Isso significa que precisamos encontrar mais dois vetores que, juntamente com , formem uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que “preenchem” todo o espaço, ou seja, todo vetor em pode ser escrito como combinação desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é linearidade e como verificar se os vetores são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para formar uma base em , precisamos de três vetores que sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Já temos um vetor dado: . Nosso desafio agora é encontrar mais dois vetores que não sejam combinações desse vetor.
Passo 3
Vamos escolher vetores simples para facilitar. Um bom ponto de partida são os vetores canônicos, que são e . Vamos verificar se esses vetores, junto com , são lineares independentes.
Passo 4
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 5
Calculando o determinante:
Como o determinante é 2 (diferente de zero), os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para que contém o vetor é formada pelos vetores , e .