Obter uma base para R^3 que contenha os vetores: (1,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para o espaço R^3 que inclua o vetor (1, 0, 2). Isso significa que precisamos encontrar mais dois vetores que, juntamente com (1, 0, 2), formem uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que “preenchem” todo o espaço, ou seja, todo vetor em R^3 pode ser escrito como combinação desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é linearidade e como verificar se os vetores são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para formar uma base em R^3, precisamos de três vetores que sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Já temos um vetor dado: (1, 0, 2). Nosso desafio agora é encontrar mais dois vetores que não sejam combinações desse vetor.

Passo 3

Vamos escolher vetores simples para facilitar. Um bom ponto de partida são os vetores canônicos, que são (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Vamos verificar se esses vetores, junto com (1, 0, 2), são lineares independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & 0 & 0
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 5

Calculando o determinante:
det = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 2) + 0 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 2) = 0 - (-2) + 0 = 2
Como o determinante é 2 (diferente de zero), os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para R^3 que contém o vetor (1, 0, 2) é formada pelos vetores (1, 0, 2), (1, 0, 0) e (0, 1, 0).

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