Obter uma base para que contenha os vetores:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para o espaço que inclua o vetor . Isso significa que precisamos encontrar mais dois vetores que, juntamente com , formem uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que “preenchem” todo o espaço, ou seja, todo vetor em pode ser escrito como combinação desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é linearidade e como verificar se os vetores são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para formar uma base em , precisamos de três vetores que sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Já temos um vetor dado: . Nosso desafio agora é encontrar mais dois vetores que não sejam combinações desse vetor.

Passo 3

Vamos escolher vetores simples para facilitar. Um bom ponto de partida são os vetores canônicos, que são e . Vamos verificar se esses vetores, junto com , são lineares independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 5

Calculando o determinante:
Como o determinante é 2 (diferente de zero), os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para que contém o vetor é formada pelos vetores , e .

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(ENADE 2017) A solução de um sistema linear de três equações e três incógnitas pode ser interpretada geometricamente como a interseção de três planos no espaço e consiste em verificar se os três planos tem um único ponto, infinitos pontos ou nenhum ponto em comum, para determinar se o sistema possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o sistema linear
tem solução
a) o ponto .
b) o plano que passa pelo ponto e possui como vetor diretor o vetor . c) a reta que passa pelo ponto e que possui como vetor diretor o vetor .
d) a reta que passa pelo ponto e que possui como vetor diretor o vetor .
e) o conjunto vazio.
Calcule o produto interno , onde:
a) ;
b) ;
c) ;
Verificar se os seguintes conjuntos são bases do . Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto: