Para verificar a viabilidade de incluir os resíduos da queima de carvão mineral na composição do cimento, foram feitos ensaios com cimento contendo de 0 a
de cinza de carvão; e medida a resistência à compressão (em MPa ), após 28 dias. Os resultados foram os seguintes:
Carvão (%):
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Resistência (MPa):
38,5
40,2
42,1
37,5
41,1
36,9
38,2
36,7
39,5
35,9
Calcule
.
Carvão (%): | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Resistência (MPa): | 38,5 | 40,2 | 42,1 | 37,5 | 41,1 | 36,9 | 38,2 | 36,7 | 39,5 | 35,9 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos verificar se dá pra incluir cinza de carvão na composição do cimento. Para isso, fizemos alguns testes misturando de 0 a 9% de carvão e medimos a resistência à compressão após 28 dias. O que a gente precisa calcular aqui é o $ R^2 $, que é uma medida estatística que mostra o quanto a variação nos dados de resistência pode ser explicada pela variação na porcentagem de carvão adicionada. Vamos usar estatística básica e regressão linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Passo 3
Vamos calcular alguns valores importantes: a média de $ x $ (percentual de carvão) e a média de $ y $ (resistência).
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma dos produtos das diferenças de cada $ x $ e $ y $ em relação às suas médias, assim como as somas dos quadrados das diferenças de $ x $ e de $ y $.
Primeiro, calculamos $ (x_i - \bar{x}) $ e $ (y_i - \bar{y}) $ para cada ponto:
Agora, somamos esses valores:
Passo 5
Vamos calcular agora a soma dos quadrados das diferenças de $ x $ e de $ y $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a inclinação ($ b $) da regressão linear:
E o intercepto ($ a $):
Então, nossa equação da reta de regressão é:
Passo 7
Para calcular $ R^2
SS_{tot}
SS_{reg} $).
Já temos:
Agora, calculamos $ SS_{reg} $:
Passo 8
Finalmente, calculamos $ R^2 $:
Resposta
O valor de $ R^2 $ é aproximadamente 0,297.