Para verificar a viabilidade de incluir os resíduos da queima de carvão mineral na composição do cimento, foram feitos ensaios com cimento contendo de 0 a 9 % de cinza de carvão; e medida a resistência à compressão (em MPa ), após 28 dias. Os resultados foram os seguintes:
Carvão (%): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Resistência (MPa): 38,5 40,2 42,1 37,5 41,1 36,9 38,2 36,7 39,5 35,9
Calcule lcccccccccc hline Carvão (%): & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 cline 2 - 10 Resistência (MPa): & 38,5 & 40,2 & 42,1 & 37,5 & 41,1 & 36,9 & 38,2 & 36,7 & 39,5 & 35,9 hline .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos verificar se dá pra incluir cinza de carvão na composição do cimento. Para isso, fizemos alguns testes misturando de 0 a 9% de carvão e medimos a resistência à compressão após 28 dias. O que a gente precisa calcular aqui é o $ R^2 $, que é uma medida estatística que mostra o quanto a variação nos dados de resistência pode ser explicada pela variação na porcentagem de carvão adicionada. Vamos usar estatística básica e regressão linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
cc % Carvão & Resistência (MPa) 0 & 38,5 1 & 40,2 2 & 42,1 3 & 37,5 4 & 41,1 5 & 36,9 6 & 38,2 7 & 36,7 8 & 39,5 9 & 35,9 ãê

Passo 3

Vamos calcular alguns valores importantes: a média de $ x $ (percentual de carvão) e a média de $ y $ (resistência).
x
y

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma dos produtos das diferenças de cada $ x $ e $ y $ em relação às suas médias, assim como as somas dos quadrados das diferenças de $ x $ e de $ y $.
Primeiro, calculamos $ (x_i - \bar{x}) $ e $ (y_i - \bar{y}) $ para cada ponto:
x
Agora, somamos esses valores:
y

Passo 5

Vamos calcular agora a soma dos quadrados das diferenças de $ x $ e de $ y $:
x
y
sum (xi - barx)^2 = (-4,5)^2 + (-3,5)^2 + (-2,5)^2 + (-1,5)^2 + (-0,5)^2 + (0,5)^2 + (1,5)^2 + (2,5)^2 + (3,5)^2 + (4,5)^2
= 20,25 + 12,25 + 6,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 6,25 + 12,25 + 20,25 = 82,5

Passo 6

Agora, vamos calcular a inclinação ($ b $) da regressão linear:
b
E o intercepto ($ a $):
b = sum (xi - barx)(yi - bary)sum (xi - barx)^2 = -29,882,5 approx -0,3612
Então, nossa equação da reta de regressão é:
a

Passo 7

Para calcular $ R^2 R^2 SS_{tot} SStot ã SS_{reg} $).
Já temos:
SSreg
Agora, calculamos $ SS_{reg} $:
SStot = sum (yi - bary)^2 approx 36,228

Passo 8

Finalmente, calculamos $ R^2 $:
R^2

Resposta

O valor de $ R^2 $ é aproximadamente 0,297.

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