Considere o operador linear tal que sua matriz em relação à base canônica é dada por:
(b) Encontre o polinômio minimal de T. T é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um operador linear que atua no espaço e a matriz desse operador na base canônica é dada. A pergunta é: Qual é o polinômio minimal de e é diagonalizável? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre polinômios característicos, polinômio minimal e condições para que uma matriz seja diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de pT(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^2 (x + 1)^2 . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade.
Como a matriz de é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio minimal. O polinômio minimal é o menor polinômio monico que satisfaz mT(x) = (x - 1)(x + 1) . Ele divide o polinômio característico e tem a mesma raiz para cada autovalor, mas com multiplicidade reduzida se possível.
Para determinar o polinômio minimal, devemos verificar a maior multiplicidade das raízes no polinômio característico e ajustar se necessário. Observando nosso polinômio característico , temos duas raízes: 1 e -1, cada uma com multiplicidade 2.
Vamos checar se o polinômio minimal tem multiplicidades menores. Olhando para a matriz de , percebemos que não há blocos de Jordan maiores que 1 para cada autovalor, o que significa que o polinômio minimal pode ser reduzido:
Passo 4
Para confirmar, vamos verificar se mT(T) = (T - I)(T + I) = T^2 - I :
Calculando e subtraindo a identidade, vemos que realmente , o que confirma que é o polinômio minimal de .
Passo 5
Agora, vamos verificar se é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o polinômio minimal se divide em fatores lineares distintos, ou seja, não há raízes múltiplas.
No nosso caso, o polinômio minimal é , que tem raízes simples (cada fator aparece apenas uma vez). Portanto, é diagonalizável.