Verifique que, se f(x, y)=arctg(yx), então
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que, se , então a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e é igual a zero. Basicamente, vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas e entender como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial x = 11 + (yx)^2 cdot partialpartial x(yx) em relação a partialpartial x(yx) = -yx^2 . A função é partial fpartial x = 11 + y^2x^2 cdot (-yx^2) = -yx^2 + y^2 . A gente sabe que a derivada da função em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(-yx^2 + y^2) = -y cdot partialpartial x(1x^2 + y^2) em relação a partialpartial x(1x^2 + y^2) = -2x(x^2 + y^2)^2 , ou seja, partial^2 fpartial x^2 = -y cdot (-2x(x^2 + y^2)^2) = 2xy(x^2 + y^2)^2 . Já temos . Vamos derivar isso em relação a :
Derivando em relação a :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial fpartial y = 11 + (yx)^2 cdot partialpartial y(yx) = 11 + y^2x^2 cdot 1x = xx^2 + y^2 em relação a partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(xx^2 + y^2) = x cdot partialpartial y(1x^2 + y^2) = x cdot (-2y(x^2 + y^2)^2) = -2xy(x^2 + y^2)^2 , ou seja, . Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, vamos derivar isso em relação a :

Passo 5

Agora que temos as duas segundas derivadas parciais, vamos somá-las:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2 + (-2xy(x^2 + y^2)^2) = 0

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais de é igual a zero.

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