Verifique que, se
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que, se
, então a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
é igual a zero. Basicamente, vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas e entender como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função é
. A gente sabe que a derivada da função
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Já temos
. Vamos derivar isso em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, vamos derivar isso em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as duas segundas derivadas parciais, vamos somá-las:
Resposta
A soma das segundas derivadas parciais de
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Denote por
o gráfico da função
e seja
(veja a figura abaixo) a curva obtida pela interseção de
o plano
. Encontre a equação geral da reta tangente à curva
passando pelo ponto
.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
no ponto
.
Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para