Denote por o gráfico da função e seja (veja a figura abaixo) a curva obtida pela interseção de o plano . Encontre a equação geral da reta tangente à curva passando pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos o gráfico da função , que chamamos de . A curva é a interseção desse gráfico com o plano . Queremos encontrar a equação geral da reta tangente à curva que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica para encontrar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Como é a interseção de com o plano , substituímos na função :
Então, a curva está no plano e é dada por .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a reta tangente a em um ponto específico. O ponto dado é . Vamos verificar se esse ponto realmente pertence à curva :
Como o valor de confere, o ponto está na curva .
Passo 4
Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada de em relação a na curva . Vamos derivar em relação a :
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva .
Passo 5
Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .
Passo 6
Agora, vamos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta. Sabemos um ponto pela qual a reta passa e a inclinação . A equação da reta na forma paramétrica é:
Onde é o parâmetro.
Passo 7
Podemos também escrever a equação da reta na forma vetorial ou em termos de , já que permanece constante em zero:
Simplificando:
Resposta
A equação geral da reta tangente à curva que passa pelo ponto é: