Denote por S o gráfico da função f(x, y) = cos(x^2 + y^2) e seja C (veja a figura abaixo) a curva obtida pela interseção de S o plano y = 0. Encontre a equação geral da reta tangente à curva C passando pelo ponto (raiz(pi)/2, 0, raiz(2)/2).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos o gráfico da função , que chamamos de . A curva é a interseção desse gráfico com o plano . Queremos encontrar a equação geral da reta tangente à curva que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica para encontrar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Como é a interseção de com o plano , substituímos na função :
Então, a curva está no plano e é dada por .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a reta tangente a em um ponto específico. O ponto dado é . Vamos verificar se esse ponto realmente pertence à curva :
Como o valor de confere, o ponto está na curva .

Passo 4

Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada de em relação a na curva . Vamos derivar em relação a :
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva .

Passo 5

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 6

Agora, vamos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta. Sabemos um ponto pela qual a reta passa e a inclinação . A equação da reta na forma paramétrica é:
Onde é o parâmetro.

Passo 7

Podemos também escrever a equação da reta na forma vetorial ou em termos de , já que permanece constante em zero:
Simplificando:

Resposta

A equação geral da reta tangente à curva que passa pelo ponto é:

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