Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de segunda ordem das funções que você enviou. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar aplicar as regras de derivação passo a passo, derivando primeiro com relação a uma variável e depois novamente, seja com respeito à mesma variável ou à outra.
Passo 2
Parte (a)
Passo 2.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais
e
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): -
Derivada parcial em relação a
( ):
Passo 2.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, vamos derivar novamente para obter as derivadas de segunda ordem.
-
Derivada segunda em relação a
( ): -
Derivada mista (
): Derivandoem relação a : -
Derivada segunda em relação a
( ): Derivandoem relação a :
Passo 3
Parte (b)
Passo 3.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Vamos começar encontrando
e
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): Usamos a regra do quociente: -
Derivada parcial em relação a
( ): Também aplicamos a regra do quociente:
Passo 3.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, calculamos as segundas derivadas.
-
Derivada segunda em relação a
( ): Derivandoem relação a : -
Derivada mista (
): Derivandoem relação a : -
Derivada segunda em relação a
( ): Derivandoem relação a :
Passo 4
Parte ©
Passo 4.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Vamos calcular
e
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): -
Derivada parcial em relação a
( ):
Passo 4.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, vamos ��s segundas derivadas.
-
Derivada segunda em relação a
( ): Derivandoem relação a : -
Derivada mista (
): Derivandoem relação a : -
Derivada segunda em relação a
( ): Derivandoem relação a :
Resposta
Derivadas parciais de segunda ordem:
-
Parte (a):
-
Parte (b):
-
Parte ©:
Exercícios relacionados
Denote por
o gráfico da função
e seja
(veja a figura abaixo) a curva obtida pela interseção de
o plano
. Encontre a equação geral da reta tangente à curva
passando pelo ponto
.
Calcule o potencial gravitacional devido a uma barra fina de comprimento
e massa
a uma distância
do centro da barra e a uma direção perpendicular a ela. Para ajudar no seu cálculo, use:
.
Verifique que, se
, então
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
no ponto
.