Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(a) f(x, y) = x^4 - 3 x^2 y^3
(b) f(x, y) = x / (x + y)
© f(x, y) = e^(-y) sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de segunda ordem das funções que você enviou. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar aplicar as regras de derivação passo a passo, derivando primeiro com relação a uma variável e depois novamente, seja com respeito à mesma variável ou à outra.

Passo 2

Parte (a)

Passo 2.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
  • Derivada parcial em relação a ( ):
Passo 2.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, vamos derivar novamente para obter as derivadas de segunda ordem.
  • Derivada segunda em relação a ( ):
  • Derivada mista ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :

Passo 3

Parte (b)

Passo 3.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Vamos começar encontrando e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
    Usamos a regra do quociente:
  • Derivada parcial em relação a ( ):
    Também aplicamos a regra do quociente:
Passo 3.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, calculamos as segundas derivadas.
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada mista ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :

Passo 4

Parte ©

Passo 4.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Vamos calcular e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
  • Derivada parcial em relação a ( ):
Passo 4.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, vamos ��s segundas derivadas.
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada mista ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :

Resposta

Derivadas parciais de segunda ordem:
  • Parte (a):
  • Parte (b):
  • Parte ©:

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