Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(a) f(x, y) = x^4 - 3 x^2 y^3
(b) f(x, y) = x / (x + y)
© f(x, y) = e^(-y) sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de segunda ordem das funções que você enviou. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar aplicar as regras de derivação passo a passo, derivando primeiro com relação a uma variável e depois novamente, seja com respeito à mesma variável ou à outra.

Passo 2

Parte (a)

Passo 2.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
  • Derivada parcial em relação a ( ):
Passo 2.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, vamos derivar novamente para obter as derivadas de segunda ordem.
  • Derivada segunda em relação a ( ):
  • Derivada mista ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :

Passo 3

Parte (b)

Passo 3.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Vamos começar encontrando e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
    Usamos a regra do quociente:
  • Derivada parcial em relação a ( ):
    Também aplicamos a regra do quociente:
Passo 3.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, calculamos as segundas derivadas.
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada mista ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :

Passo 4

Parte ©

Passo 4.1: Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Vamos calcular e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
  • Derivada parcial em relação a ( ):
Passo 4.2: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Agora, vamos ��s segundas derivadas.
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada mista ( ):
    Derivando em relação a :
  • Derivada segunda em relação a ( ):
    Derivando em relação a :

Resposta

Derivadas parciais de segunda ordem:
  • Parte (a):
  • Parte (b):
  • Parte ©:

Exercícios relacionados

Denote por S o gráfico da função f(x, y) = cos(x^2 + y^2) e seja C (veja a figura abaixo) a curva obtida pela interseção de S o plano y = 0. Encontre a equação geral da reta tangente à curva C passando pelo ponto (raiz(pi)/2, 0, raiz(2)/2).
Calcule o potencial gravitacional devido a uma barra fina de comprimento l e massa M a uma distância R do centro da barra e a uma direção perpendicular a ela. Para ajudar no seu cálculo, use: integral d xraizx^2+a^2=ln (x+raizx^2+a^2).
Verifique que, se f(x, y)=arctg(yx), então
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = sen(x + y) no ponto (1, -1, 0).