Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando suas respostas:
Existe uma transformação linear T: R^4 P2(R) que é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se há uma transformação linear que é sobrejetora. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e suas propriedades como sobrejetividade. Para resolver, vamos precisar entender as dimensões dos espaços envolvidos e usar o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema de Rank-Nullidade).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões dos espaços de partida e chegada. O espaço tem dimensão 4, porque cada vetor tem 4 componentes. Já é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que pode ser escrito como . Portanto, sua dimensão é 3, já que precisamos de 3 coeficientes para descrever qualquer polinômio desse tipo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema da Dimensão. Esse teorema nos diz que para uma transformação linear dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)) , a dimensão de é igual à soma da dimensão do núcleo de ( ) e da dimensão da imagem de ( ). Em fórmula:

Passo 4

Queremos que a transformação seja sobrejetora, ou seja, a imagem de deve ser exatamente todo o espaço . Isso significa que .

Passo 5

Aplicando o Teorema da Dimensão:
4 = dim(ker(T)) + 3
Resolvendo para dim(ker(T)) = 4 - 3 = 1 :
Isso significa que o núcleo de tem dimensão 1, o que é perfeitamente possível.

Passo 6

Como a dimensão da imagem de é igual à dimensão de , e sabemos que a dimensão do domínio é maior ou igual à dimensão do contradomínio, existe sim uma transformação linear que é sobrejetora.

Resposta

Verdadeiro. Existe uma transformação linear de para que é sobrejetora.

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