Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando suas respostas:
Existe uma transformação linear
que é sobrejetora.
Existe uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se há uma transformação linear
que é sobrejetora. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e suas propriedades como sobrejetividade. Para resolver, vamos precisar entender as dimensões dos espaços envolvidos e usar o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema de Rank-Nullidade).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões dos espaços de partida e chegada. O espaço
tem dimensão 4, porque cada vetor tem 4 componentes. Já
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que pode ser escrito como
. Portanto, sua dimensão é 3, já que precisamos de 3 coeficientes para descrever qualquer polinômio desse tipo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema da Dimensão. Esse teorema nos diz que para uma transformação linear
, a dimensão de
é igual à soma da dimensão do núcleo de
(
) e da dimensão da imagem de
(
). Em fórmula:
Passo 4
Queremos que a transformação
seja sobrejetora, ou seja, a imagem de
deve ser exatamente todo o espaço
. Isso significa que
.
Passo 5
Aplicando o Teorema da Dimensão:
Resolvendo para
:
Isso significa que o núcleo de
tem dimensão 1, o que é perfeitamente possível.
Passo 6
Como a dimensão da imagem de
é igual à dimensão de
, e sabemos que a dimensão do domínio é maior ou igual à dimensão do contradomínio, existe sim uma transformação linear
que é sobrejetora.
Resposta
Verdadeiro. Existe uma transformação linear de
para
que é sobrejetora.
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