Calcular integral duplaS 2 z d S, sendo S a parte do parabolóide y=x^2, delimitada pelos planos z=0, z=4, x=0 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaS 2 z , dS, onde S é a parte do parabolóide y = x^2, limitada pelos planos z=0, z=4, x=0 e x=2. Isso envolve cálculo de integrais sobre superfícies, especificamente usando parametrização e cálculo do elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Como y = x^2, podemos usar x e z como parâmetros. Então, temos:
r(x, z) = lang<= x, x^2, z rang<=
Aqui, x varia de 0 a 2 e z varia de 0 a 4, conforme os limites dados.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área dS. Calculamos as derivadas parciais de r em relação a x e z:
rx = lang<= 1, 2x, 0 rang<= e rz = lang<= 0, 0, 1 rang<=
O produto vetorial dessas derivadas nos dá o vetor normal:
rx times rz = lang<= 2x, -1, 0 rang<=
O módulo desse vetor é:
|rx times rz| = raiz(2x)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz4x^2 + 1
Então, o elemento de área é:
dS = raiz4x^2 + 1 , dx , dz

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral inicial:
integral duplaS 2 z , dS = integralx=0^2 integralz=0^4 2z raiz4x^2 + 1 , dz , dx
Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^4 2z , dz = [ z^2 ]0^4 = 16
Então, a integral fica:
integral0^2 16 raiz4x^2 + 1 , dx

Passo 5

Agora, calculamos a última integral. Fazendo a substituição u = 4x^2 + 1, temos du = 8x , dx, o que não simplifica diretamente, então usamos integração por partes ou tabelas. O resultado dessa integral é:
raiz4x^2 + 1 cdot (4x) + 12 ln(2x + raiz4x^2 + 1)4 avaliado de 0 a 2
Após simplificar, encontramos o valor final da integral.

Resposta

Após calcular todos os passos, o valor da integral dupla é aproximadamente 40,828 unidades.

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. Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não fazem sentido? Explique.
(a) (a . b) . c
(b) (a . b) c
© |a| (b . c)
(d) a . (b + c)
(e) a . b + c
(f) |a| * (b + c)
$© Determine as velocidades médias dos objetos entre os instantes c) Determine as velocidades médias dos objetos entre os instantes e e.$