Calcular
, sendo
a parte do parabolóide
, delimitada pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a parte do parabolóide
, limitada pelos planos
,
,
e
. Isso envolve cálculo de integrais sobre superfícies, especificamente usando parametrização e cálculo do elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície
. Como
, podemos usar
e
como parâmetros. Então, temos:
Aqui,
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a 4, conforme os limites dados.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área
. Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
O produto vetorial dessas derivadas nos dá o vetor normal:
O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de área é:
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral inicial:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, calculamos a última integral. Fazendo a substituição
, temos
, o que não simplifica diretamente, então usamos integração por partes ou tabelas. O resultado dessa integral é:
Após simplificar, encontramos o valor final da integral.
Resposta
Após calcular todos os passos, o valor da integral dupla é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Verifique para cada alternativa se ela é verdadeira ou falsa
(F)
( )
(F)
( )
. Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não fazem sentido? Explique.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
$© Determine as velocidades médias dos objetos entre os instantes
e
.$