Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
composto por todas as matrizes
de ordem
com entradas reais, ou seja,
, e que satisfazem a condição de que a soma dos elementos da diagonal principal, chamada traço (
), seja igual a zero. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos relembrar o que define um subespaço vetorial e quais propriedades devemos verificar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se e somente se:
- O vetor zero de
está em . -
é fechado sob adição de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
No nosso caso,
, o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais, e
é o subconjunto dessas matrizes com traço zero.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é a matriz cuja todas as entradas são zero. O traço dessa matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, que também será zero. Portanto, o vetor zero está em
.
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Sejam
e
matrizes em
, ou seja,
e
. Queremos ver se
também está em
.
Portanto,
está em
.
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja
uma matriz em
e
um escalar real. Queremos verificar se
também está em
.
Logo,
está em
.
Resposta
Como todas as condições para ser um subespaço vetorial foram satisfeitas, concluímos que o conjunto
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
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