Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=A in Mn(R) mid tr(A)=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto composto por todas as matrizes de ordem com entradas reais, ou seja, , e que satisfazem a condição de que a soma dos elementos da diagonal principal, chamada traço ( ), seja igual a zero. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos relembrar o que define um subespaço vetorial e quais propriedades devemos verificar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se e somente se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. é fechado sob adição de vetores.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.
No nosso caso, , o conjunto de todas as matrizes com entradas reais, e é o subconjunto dessas matrizes com traço zero.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em tr(0) = 0 :
O vetor zero em tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = 0 + 0 = 0 é a matriz cuja todas as entradas são zero. O traço dessa matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, que também será zero. Portanto, o vetor zero está em tr(cA) = c cdot tr(A) = c cdot 0 = 0 .
2. Verificando se é fechado sob adição:
Sejam e matrizes em , ou seja, e . Queremos ver se também está em .
Portanto, está em .
3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja uma matriz em e um escalar real. Queremos verificar se também está em .
Logo, está em .

Resposta

Como todas as condições para ser um subespaço vetorial foram satisfeitas, concluímos que o conjunto é, de fato, um subespaço vetorial de .

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