Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que define um subespaço e verificar se
cumpre esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor
. - É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
- É fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos substituir na condição de
:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Sabemos que:
Agora, somando
, precisamos verificar se:
Explicando a teoria: Para que a soma esteja em
, o produto das componentes x e y do vetor resultante deve ser zero. Vamos calcular:
Sabemos que
e
(porque
e
estão em
), mas os termos
e
não necessariamente são zero. Portanto, o produto pode não ser zero.
Passo 5
3. Conclusão sobre a adição:
Como o produto
pode não ser zero, isso significa que a soma de dois vetores em
nem sempre estará em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 6
4. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos uma condição que falha, vamos dar uma olhada rápida. Se multiplicarmos um vetor
em
por um escalar
, temos:
E verificamos:
Se
, então
. Então,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não é fechado sob adição, isso significa que
não é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial e
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que o subconjunto de
dado por
em que
e
também é um subespaço vetorial de
. Além disso, mostre que
é o menor subespaço de
que contém os subespaços
e
. O subespaço vetorial
é chamado a soma dos subespaços
e
.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.