Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=(x, y, z) in R^3 mid x <= y <= z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso envolve entender alguns conceitos da Álgebra Linear, como o que é um subespaço e quais são as condições que ele precisa cumprir. Mas calma, vou te explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores que satisfaz três condições importantes dentro de um espaço vetorial maior (nesse caso, ). As três condições são:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar no conjunto .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somá-los, o resultado também precisa estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor em e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para ver se é realmente um subespaço vetorial.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição .
Então, é verdadeiro. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se u + v = (1+0, 2+1, 3+2) = (1, 3, 5) é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em a + b = (1+2, 1+2, 1+2) = (3, 3, 3) e somá-los para ver se o resultado também está em c + d = (1+3, 2+2, 3+1) = (4, 4, 4) .
Vamos considerar dois vetores:
  • que está em porque
  • que também está em porque
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se está em :
  • é verdadeiro.
Parece que funciona aqui, mas vamos testar com outro par de vetores.
Considere:
  • que está em porque
  • que também está em porque
Somando:
Verificando:
  • também é verdadeiro.
Parece que está fechado sob adição, certo? Mas para ter certeza, vamos pensar em casos onde isso não aconteceria.
Exemplo que pode falhar:
Considere:
  • que está em porque
  • não está em porque
Se tentarmos somar , teremos:
E é verdadeiro, mas como não está em , isso não ajuda a concluir nada. Para verificar adequadamente, precisamos escolher dois vetores que estão em e ver se a soma sempre está em . No entanto, mesmo que nos exemplos que testamos a soma esteja em , isso não garante que sempre será.
Vamos passar para a próxima condição para ver se encontramos um problema.

Passo 5

3. Verificando se 2 cdot e = (2 cdot 1, 2 cdot 2, 2 cdot 3) = (2, 4, 6) é fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui, pegamos um vetor em -1 cdot e = (-1 cdot 1, -1 cdot 2, -1 cdot 3) = (-1, -2, -3) e multiplicamos por um número (escalar) para ver se o resultado ainda está em .
Vamos pegar o vetor , que está em .
Multiplicando por um escalar, digamos :
Verificando:
  • é verdadeiro, então está em .
Agora, vamos testar com um escalar negativo, por exemplo, :
Verificando:
  • não é verdadeiro, porque .
Aí está! Quando multiplicamos por um escalar negativo, a condição pode não ser satisfeita.

Resposta

Então, concluímos que o conjunto não é um subespaço vetorial, porque ele não é fechado sob multiplicação por escalar. Multiplicar um vetor em por um escalar negativo pode resultar em um vetor que não satisfaz a condição .

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Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=(x, y, z) in R^3 mid x cdot y=0.
Seja V um espaço vetorial e U e W subespaços vetoriais de V. Mostre que o subconjunto de V dado por U+W=v in V mid v=u+w em que u in U e w in W também é um subespaço vetorial de V. Além disso, mostre que U+W é o menor subespaço de V que contém os subespaços U e W. O subespaço vetorial U+W é chamado a soma dos subespaços U e W.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=A in Mn(R) mid tr(A)=0.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=A in Mn(R) mid A^2=A.