Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Isso envolve entender alguns conceitos da Álgebra Linear, como o que é um subespaço e quais são as condições que ele precisa cumprir. Mas calma, vou te explicar tudinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores que satisfaz três condições importantes dentro de um espaço vetorial maior (nesse caso,
). As três condições são:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar no conjunto . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somá-los, o resultado também precisa estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor em
e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para ver se
é realmente um subespaço vetorial.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
.
Então,
é verdadeiro. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
e somá-los para ver se o resultado também está em
.
Vamos considerar dois vetores:
-
que está em porque -
que também está em porque
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se
está em
:
-
é verdadeiro.
Parece que funciona aqui, mas vamos testar com outro par de vetores.
Considere:
-
que está em porque -
que também está em porque
Somando:
Verificando:
-
também é verdadeiro.
Parece que
está fechado sob adição, certo? Mas para ter certeza, vamos pensar em casos onde isso não aconteceria.
Exemplo que pode falhar:
Considere:
-
que está em porque -
não está em porque
Se tentarmos somar
, teremos:
E
é verdadeiro, mas como
não está em
, isso não ajuda a concluir nada. Para verificar adequadamente, precisamos escolher dois vetores que estão em
e ver se a soma sempre está em
. No entanto, mesmo que nos exemplos que testamos a soma esteja em
, isso não garante que sempre será.
Vamos passar para a próxima condição para ver se encontramos um problema.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui, pegamos um vetor em
e multiplicamos por um número (escalar) para ver se o resultado ainda está em
.
Vamos pegar o vetor
, que está em
.
Multiplicando por um escalar, digamos
:
Verificando:
-
é verdadeiro, então está em .
Agora, vamos testar com um escalar negativo, por exemplo,
:
Verificando:
-
não é verdadeiro, porque .
Aí está! Quando multiplicamos por um escalar negativo, a condição
pode não ser satisfeita.
Resposta
Então, concluímos que o conjunto
não é um subespaço vetorial, porque ele não é fechado sob multiplicação por escalar. Multiplicar um vetor em
por um escalar negativo pode resultar em um vetor que não satisfaz a condição
.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
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Seja
um espaço vetorial e
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que o subconjunto de
dado por
em que
e
também é um subespaço vetorial de
. Além disso, mostre que
é o menor subespaço de
que contém os subespaços
e
. O subespaço vetorial
é chamado a soma dos subespaços
e
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
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Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
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