Seja
um espaço vetorial e
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que o subconjunto de
dado por
em que
e
também é um subespaço vetorial de
. Além disso, mostre que
é o menor subespaço de
que contém os subespaços
e
. O subespaço vetorial
é chamado a soma dos subespaços
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a soma de dois subespaços vetoriais,
, também é um subespaço de
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz as condições para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar. Além disso, precisamos provar que
é o menor subespaço que contém tanto
quanto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
é um conjunto que satisfaz três propriedades:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (a soma de dois vetores no subespaço também está no subespaço).
- É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar resulta em um vetor que também está no subespaço).
Passo 3
Agora, vamos verificar se
satisfaz essas três propriedades.
1. Contém o vetor zero:
Se a gente escolher em
e
em
, então
. Logo,
.
Se a gente escolher
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer e
em
, onde
e
. A soma desses vetores é:
Vamos pegar dois vetores qualquer
Como
e
são subespaços,
e
. Assim,
.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue um vetor em
e um escalar
. Então:
Pegue um vetor
Como
e
são subespaços,
e
. Logo,
.
Passo 4
Com isso, mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é realmente um subespaço vetorial de
.
Passo 5
Agora, precisamos provar que
é o menor subespaço de
que contém ambos
e
. Isso significa que qualquer subespaço que contenha
e
também deve conter
.
Seja
um subespaço de
que contém
e
. Então, para qualquer
em
, como
e
, temos que
porque
é fechado sob adição. Logo,
.
Isso mostra que
está contido em qualquer subespaço que contenha
e
, ou seja,
é o menor subespaço contendo ambos.
Resposta
Concluímos que
é um subespaço vetorial de
e que ele é o menor subespaço que contém os subespaços
e
. Portanto, a soma dos subespaços
e
é realmente um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.