Seja V um espaço vetorial e U e W subespaços vetoriais de V. Mostre que o subconjunto de V dado por U+W=v in V mid v=u+w em que u in U e w in W também é um subespaço vetorial de V. Além disso, mostre que U+W é o menor subespaço de V que contém os subespaços U e W. O subespaço vetorial U+W é chamado a soma dos subespaços U e W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a soma de dois subespaços vetoriais, , também é um subespaço de . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz as condições para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar. Além disso, precisamos provar que é o menor subespaço que contém tanto quanto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de é um conjunto que satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (a soma de dois vetores no subespaço também está no subespaço).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar resulta em um vetor que também está no subespaço).

Passo 3

Agora, vamos verificar se v1 + v2 = (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) satisfaz essas três propriedades.
1. Contém o vetor zero:
Se a gente escolher alpha v = alpha (u + w) = alpha u + alpha w em e em , então . Logo, .
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer e em , onde e . A soma desses vetores é:
Como e são subespaços, e . Assim, .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue um vetor em e um escalar . Então:
Como e são subespaços, e . Logo, .

Passo 4

Com isso, mostramos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é realmente um subespaço vetorial de .

Passo 5

Agora, precisamos provar que é o menor subespaço de que contém ambos e . Isso significa que qualquer subespaço que contenha e também deve conter .
Seja um subespaço de que contém e . Então, para qualquer em , como e , temos que porque é fechado sob adição. Logo, .
Isso mostra que está contido em qualquer subespaço que contenha e , ou seja, é o menor subespaço contendo ambos.

Resposta

Concluímos que é um subespaço vetorial de e que ele é o menor subespaço que contém os subespaços e . Portanto, a soma dos subespaços e é realmente um subespaço vetorial de .

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