Verifique, em cada caso, se f: A -> B define ou não uma função. Nos casos afirmativos escreva o conjunto imagem e, nos casos negativos, justifique o porquê.
а) A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e f(x) = {-1/4, 1/2, -1, 0, 1, 1/2, -1/4} } e f(x) = 1_{x-1}
x^2
b) A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: e . A ideia é verificar se a regra dada, ou seja, f(x), realmente define uma função de A para B. Se for uma função, também vamos descobrir qual é o conjunto imagem dela. Se não for, vamos explicar por quê.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função. Basicamente, uma função f: A -> B associa cada elemento de A a apenas um elemento de B. Isso significa que para cada x em A, existe um único f(x) em B.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a definição de f(x) que foi dada no item a). Parece que há duas expressões para f(x):
Vamos interpretar isso. A primeira parte parece listar os valores de f(x) para cada elemento de A. Vamos associar cada elemento de A com seu respectivo f(x):
  • (Parece que há repetições nos valores, mas vamos focar nos principais.)
A segunda parte, , é uma regra matemática clara.

Passo 4

Vamos avaliar cada definição de f(x) separadamente.
Primeira Definição:
  • Observamos que alguns valores de f(x), como -1/4 e -1, não estão no conjunto . Isso já é um sinal de que pode não ser uma função válida, já que a imagem deve estar dentro de B.
  • Além disso, se associarmos f(x) conforme listado, por exemplo, está fora de B.
Segunda Definição:
  • A regra é uma função conhecida. Vamos verificar se ela atende aos critérios:
    • Para cada x em A, vamos calcular f(x):
    • Todos os resultados (0, 1, 4) estão dentro de B.
    • Cada elemento de A está mapeado para um único elemento de B.

Passo 5

Com base nisso, concluímos que:
  • Primeira Definição: f(x) não define uma função de A para B porque alguns valores de f(x) não pertencem a B.
  • Segunda Definição: sim define uma função de A para B. O conjunto imagem dessa função é .

Resposta

a)
  • Primeira definição de f(x): Não, f não define uma função porque alguns valores de f(x) não pertencem ao conjunto B.
  • Segunda definição de : Sim, f define uma função de A para B. O conjunto imagem é .

Exercícios relacionados

Calcule g(f) e f(g) para as seguintes funções:
a) f(x) = x^2 + 1 e g(x) = x + 1
b) f(x) = p x + 2 e g(x) = x + 2
Analise as relações representadas nos diagramas abaixo. Nos casos em que a relação é uma função escreva o domínio o contradomínio e a imagem e, nos em que a relação não é uma função, justifique o porquê.
Calcule os zeros, as coordenadas do vértice e esboce o gráfico das seguintes funções do segundo grau:
a) f(x) = x^2 - 6x + 8
b) f(x) = 2 x^2 - 4 x + 2
c) f(x) = -x^2 + 2x
<html><head></head><body><div>Determine o domínio das funções abaixo: a) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.781ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.019ex” height=“2.746ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -868.9 4870.6 1213.9”><title>f(x) - (x + 1)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(550,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(939,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1511,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2122.2,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mfrac” transform=“translate(3122.4,0)”><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(220,398) scale(0.707)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(572,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1350,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(874.1,-345) scale(0.707)”></g><rect width=“1508.1” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span><br>
b) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.487ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 6403.2 1083.9”><title>f(x) = p x^2 + 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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