Verifique, em cada caso, se
define ou não uma função. Nos casos afirmativos escreva o conjunto imagem e, nos casos negativos, justifique o porquê.
а)
e
} e
b)
e
а)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
e
. A ideia é verificar se a regra dada, ou seja,
, realmente define uma função de
para
. Se for uma função, também vamos descobrir qual é o conjunto imagem dela. Se não for, vamos explicar por quê.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função. Basicamente, uma função
associa cada elemento de
a apenas um elemento de
. Isso significa que para cada
em
, existe um único
em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a definição de
que foi dada no item a). Parece que há duas expressões para
:
Vamos interpretar isso. A primeira parte parece listar os valores de
para cada elemento de
. Vamos associar cada elemento de
com seu respectivo
:
-
-
-
-
-
- (Parece que há repetições nos valores, mas vamos focar nos principais.)
A segunda parte,
, é uma regra matemática clara.
Passo 4
Vamos avaliar cada definição de
separadamente.
Primeira Definição:
- Observamos que alguns valores de
, como e , não estão no conjunto . Isso já é um sinal de que pode não ser uma função válida, já que a imagem deve estar dentro de . - Além disso, se associarmos
conforme listado, por exemplo, está fora de .
Segunda Definição:
- A regra
é uma função conhecida. Vamos verificar se ela atende aos critérios: - Para cada
em , vamos calcular : -
- Todos os resultados (0, 1, 4) estão dentro de
. - Cada elemento de
está mapeado para um único elemento de .
- Para cada
Passo 5
Com base nisso, concluímos que:
- Primeira Definição:
não define uma função de para porque alguns valores de não pertencem a . - Segunda Definição:
sim define uma função de para . O conjunto imagem dessa função é .
Resposta
a)
-
Primeira definição de
: Não, não define uma função porque alguns valores de não pertencem ao conjunto . -
Segunda definição de
: Sim, define uma função de para . O conjunto imagem é .