Verifique, em cada caso, se f: A -> B define ou não uma função. Nos casos afirmativos escreva o conjunto imagem e, nos casos negativos, justifique o porquê.
а) A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e f(x) = {-1/4, 1/2, -1, 0, 1, 1/2, -1/4} } e f(x) = 1_{x-1}
x^2
b) A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: e . A ideia é verificar se a regra dada, ou seja, f(x), realmente define uma função de A para B. Se for uma função, também vamos descobrir qual é o conjunto imagem dela. Se não for, vamos explicar por quê.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função. Basicamente, uma função f: A -> B associa cada elemento de A a apenas um elemento de B. Isso significa que para cada x em A, existe um único f(x) em B.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a definição de f(x) que foi dada no item a). Parece que há duas expressões para f(x):
Vamos interpretar isso. A primeira parte parece listar os valores de f(x) para cada elemento de A. Vamos associar cada elemento de A com seu respectivo f(x):
  • (Parece que há repetições nos valores, mas vamos focar nos principais.)
A segunda parte, , é uma regra matemática clara.

Passo 4

Vamos avaliar cada definição de f(x) separadamente.
Primeira Definição:
  • Observamos que alguns valores de f(x), como -1/4 e -1, não estão no conjunto . Isso já é um sinal de que pode não ser uma função válida, já que a imagem deve estar dentro de B.
  • Além disso, se associarmos f(x) conforme listado, por exemplo, está fora de B.
Segunda Definição:
  • A regra é uma função conhecida. Vamos verificar se ela atende aos critérios:
    • Para cada x em A, vamos calcular f(x):
    • Todos os resultados (0, 1, 4) estão dentro de B.
    • Cada elemento de A está mapeado para um único elemento de B.

Passo 5

Com base nisso, concluímos que:
  • Primeira Definição: f(x) não define uma função de A para B porque alguns valores de f(x) não pertencem a B.
  • Segunda Definição: sim define uma função de A para B. O conjunto imagem dessa função é .

Resposta

a)
  • Primeira definição de f(x): Não, f não define uma função porque alguns valores de f(x) não pertencem ao conjunto B.
  • Segunda definição de : Sim, f define uma função de A para B. O conjunto imagem é .

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