Verifique, em cada caso, se é um subespaço vetorial do .
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Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. O objetivo é verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente na parte que trata de subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz os critérios para ser um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se conseguimos encontrar um valor de que satisfaça .
Resolvendo:
Isso acontece quando . Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Verificar a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (x + y, 2x + 2y, x + y) = (x + y, 2(x + y), x + y) : e , onde .
Agora, vamos somar e :
Observe que a soma também está na forma , onde . Como é um número real, pertence a . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar o fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em cu = (c x, 2 c x, c x) = (z, 2z, z) : , e um escalar .
Multiplicando por :
onde . Como é um número real, também está na forma , ou seja, pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .