Mostre que o operador linear T: R^3 R^3 representado na base canônica B pela matriz:
[T]B^B=(ccc 1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 5 & 7 )
não é invertível.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um operador linear representado por uma matriz na base canônica. A tarefa é mostrar que essa matriz não é invertível. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de determinante, que nos ajuda a verificar se uma matriz é invertível ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, se conseguirmos calcular o determinante da matriz e ele for igual a zero, isso significa que a matriz não é invertível.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dada:
[T]B^B = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 5 & 7
O determinante de uma matriz det(T) = 1 cdot (3 cdot 7 - 4 cdot 5) - 2 cdot (2 cdot 7 - 4 cdot 3) + 3 cdot (2 cdot 5 - 3 cdot 3) pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus:
det(T) = 1 cdot 1 - 2 cdot 2 + 3 cdot 1 = 1 - 4 + 3 = 0
Vamos calcular cada parte:
Substituindo de volta na expressão do determinante:

Resposta

Como o determinante da matriz é zero, concluímos que o operador linear não é invertível.

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