Verifique se as funções abaixo são transformações lineares: definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por . O objetivo é verificar se essa função é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem uma transformação linear: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar aplicar essas propriedades para testar se se comporta como uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer dois vetores e em , a função deve satisfazer:
Vamos calcular cada parte:
Expandindo:
Agora, vamos calcular :
Comparando as duas expressões:
Vemos que a menos que , o que não é geral.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer escalar e vetor , a função deve satisfazer:
Vamos calcular cada parte:
Agora,
Comparando:
Isso mostra que a homogeneidade não é satisfeita para valores gerais de .
Resposta
Como a função não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade de forma geral, ela não é uma transformação linear.