Verifique que cada função dada, y1(t) e/ou y2(t), é uma solução da equação diferencial associada. y^prime prime prime prime+4 y^prime prime prime+3 y=t
y1(t)=t / 3, y2(t)=e^-t+t / 3

Passo 1

Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
y^prime prime prime prime + 4 y^prime prime prime + 3 y = t
E duas funções propostas:
y1(t) = t3, y2(t) = e^-t + t3
Nosso objetivo é verificar se cada uma dessas funções, e , é uma solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos substituir cada função na equação e verificar se a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar y1(t) = t3 .
Para isso, precisamos calcular as derivadas de y1^prime(t) = 13 até a quarta ordem:
y1^primeprime(t) = 0
y1^primeprimeprime(t) = 0
y1^primeprimeprimeprime(t) = 0
0 + 4 cdot 0 + 3 cdot t3 = t
0 + 0 + t = t
Agora, substituímos na equação diferencial:
t = t
A igualdade se sustenta, ou seja, satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos verificar y2(t) = e^-t + t3 .
Calculamos as derivadas de y2^prime(t) = -e^-t + 13 :
y2^primeprime(t) = e^-t
y2^primeprimeprime(t) = -e^-t
y2^primeprimeprimeprime(t) = e^-t
e^-t + 4 cdot (-e^-t) + 3 cdot (e^-t + t3) = t
e^-t - 4e^-t + 3e^-t + t = t
Substituímos na equação diferencial:
(1 - 4 + 3)e^-t + t = t
0 cdot e^-t + t = t
t = t
Novamente, a igualdade se confirma, ou seja, também satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Ambas as funções e são soluções da equação diferencial dada.

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