Defina Potência em um grupo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para definir Potência em um grupo
. Isso está dentro do conteúdo de Teoria de Grupos, que faz parte da Álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como as operações funcionam dentro de um grupo e como podemos aplicar um elemento do grupo repetidamente usando a operação definida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo
é um conjunto
juntamente com uma operação binária
que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. Essas propriedades garantem que a estrutura é bem comportada para realizar operações matemáticas.
Passo 3
Agora, vamos definir o que significa “potência” de um elemento dentro desse grupo. A potência de um elemento
é, basicamente, a aplicação repetida da operação
com ele mesmo.
Passo 4
Formalmente, para um número natural
, a potência
é definida da seguinte maneira:
-
Base caso
: -
Para
:
Isso significa que você está multiplicando o elemento
por ele mesmo
vezes usando a operação
do grupo.
Passo 5
Além disso, precisamos considerar potências com expoentes negativos e zero:
-
Para
, é definido como o elemento neutro do grupo: -
Para
, é definido como o inverso de :
Isso garante que todas as potências inteiras de
estão bem definidas dentro do grupo.
Resposta
Portanto, a potência de um elemento
em um grupo
para todo inteiro
é definida por:
Essa definição nos permite trabalhar com elementos de grupos de forma semelhante a como lidamos com potências em números, respeitando a operação específica definida no grupo.