Defina Potência em um grupo (G, *).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para definir Potência em um grupo (G, *). Isso está dentro do conteúdo de Teoria de Grupos, que faz parte da Álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como as operações funcionam dentro de um grupo e como podemos aplicar um elemento do grupo repetidamente usando a operação definida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo (G, *) é um conjunto G juntamente com uma operação binária * que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. Essas propriedades garantem que a estrutura é bem comportada para realizar operações matemáticas.

Passo 3

Agora, vamos definir o que significa “potência” de um elemento dentro desse grupo. A potência de um elemento g in G é, basicamente, a aplicação repetida da operação * com ele mesmo.

Passo 4

Formalmente, para um número natural n, a potência g^n é definida da seguinte maneira:
  • Base caso n = 1:
    g^1 = g
  • Para n > 1:
    g^n = g * g^n-1
Isso significa que você está multiplicando o elemento g por ele mesmo n vezes usando a operação * do grupo.

Passo 5

Além disso, precisamos considerar potências com expoentes negativos e zero:
  • Para n = 0, g^0 é definido como o elemento neutro e do grupo:
    g^0 = e
  • Para n < 0, g^-n é definido como o inverso de g^n:
    g^-n = (g^n)^-1
Isso garante que todas as potências inteiras de g estão bem definidas dentro do grupo.

Resposta

Portanto, a potência de um elemento g em um grupo (G, *) para todo inteiro n é definida por:
g^n = g * g^n-1 & se n > 1, g & se n = 1, e & se n = 0, (g^-1)^|n| & se n < 0
Essa definição nos permite trabalhar com elementos de grupos de forma semelhante a como lidamos com potências em números, respeitando a operação específica definida no grupo.

Exercícios relacionados

Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
e) (Z times Z, *), onde
& Z : conjunto dos números inteiros e (^*) é a operação: & (a, b) *(m, n)=(a+m,(-1)^m cdot b+n), a, b, m, n in Z úéçã
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
а) (M, *), onde
M=(ll a & a 0 & 0 ) ; a in R el a neq 0 e (*) é a operação usual de muéçãçã
Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x, y in A. Prove que:
a) barx=bary Leftrightarrow x sim y
Prove que um elemento barx in Zm tem inverso multiplicativo, se e somente se, (barx, m)=1.