Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para definir Potência em um grupo. Isso está dentro do conteúdo de Teoria de Grupos, que faz parte da Álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como as operações funcionam dentro de um grupo e como podemos aplicar um elemento do grupo repetidamente usando a operação definida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto juntamente com uma operação binária que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. Essas propriedades garantem que a estrutura é bem comportada para realizar operações matemáticas.
Passo 3
Agora, vamos definir o que significa “potência” de um elemento dentro desse grupo. A potência de um elemento é, basicamente, a aplicação repetida da operação com ele mesmo.
Passo 4
Formalmente, para um número natural , a potência é definida da seguinte maneira:
Base caso :
Para :
Isso significa que você está multiplicando o elemento por ele mesmo vezes usando a operação do grupo.
Passo 5
Além disso, precisamos considerar potências com expoentes negativos e zero:
Para , é definido como o elemento neutro do grupo:
Para , é definido como o inverso de :
Isso garante que todas as potências inteiras de estão bem definidas dentro do grupo.
Resposta
Portanto, a potência de um elemento em um grupo para todo inteiro é definida por:
Essa definição nos permite trabalhar com elementos de grupos de forma semelhante a como lidamos com potências em números, respeitando a operação específica definida no grupo.