Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=4-3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)
f(x)=4-3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descrever o domínio e a imagem da função
. Isso está dentro da matéria de funções trigonométricas, mais especificamente sobre como identificar o domínio e a imagem de uma função. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a função seno, como as transformações afetam o gráfico dela e o que significa domínio e imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função seno,
, ela está definida para todos os números reais. Isso significa que não há restrições para
na nossa função
. As transformações dentro da função (como a multiplicação por 2 ou a subtração de
) não limitam os valores de
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída
. Sabemos que a função seno,
, sempre produz valores entre -1 e 1, ou seja,
.
Passo 4
Na nossa função
, temos uma multiplicação por -3 na função seno. Isso afeta a amplitude da função. A amplitude original é 1 (de -1 a 1), então ao multiplicar por -3, a amplitude passa a ser 3, ficando entre -3 e 3.
Passo 5
Além disso, temos um 4 sendo somado na função. Isso é uma translação vertical para cima de 4 unidades. Portanto, todo o intervalo da função passada pela multiplicação por -3 será elevado em 4. Assim, o intervalo que antes era de -3 a 3, passa a ser de
até
.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais (
) e a imagem é o intervalo [1, 7].