Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=4-3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descrever o domínio e a imagem da função . Isso está dentro da matéria de funções trigonométricas, mais especificamente sobre como identificar o domínio e a imagem de uma função. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a função seno, como as transformações afetam o gráfico dela e o que significa domínio e imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função seno, , ela está definida para todos os números reais. Isso significa que não há restrições para na nossa função . As transformações dentro da função (como a multiplicação por 2 ou a subtração de ) não limitam os valores de .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída . Sabemos que a função seno, , sempre produz valores entre -1 e 1, ou seja, .

Passo 4

Na nossa função , temos uma multiplicação por -3 na função seno. Isso afeta a amplitude da função. A amplitude original é 1 (de -1 a 1), então ao multiplicar por -3, a amplitude passa a ser 3, ficando entre -3 e 3.

Passo 5

Além disso, temos um 4 sendo somado na função. Isso é uma translação vertical para cima de 4 unidades. Portanto, todo o intervalo da função passada pela multiplicação por -3 será elevado em 4. Assim, o intervalo que antes era de -3 a 3, passa a ser de até .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais ( ) e a imagem é o intervalo [1, 7].

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Calcule .
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