Verifique se cada uma das séries converge ou diverge (justifique sua resposta): sumn=1^+infty 7raiz[5]n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é a de séries numéricas, mais especificamente, o teste da série p. Para isso, vamos precisar identificar o valor de na nossa série e aplicar o teste para ver o que acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da série de uma forma mais simples. Sabemos que sumn=1^+infty 7n^1/5 é o mesmo que . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes dessa série. Note que a constante 7 pode ser fatorada para fora da soma, mas como estamos interessados apenas na convergência ou divergência, podemos ignorar essa constante para facilitar a análise. Assim, focamos na série:
sumn=1^+infty 1n^1/5

Passo 4

Essa é uma série p, que tem a forma geral:
sumn=1^+infty 1n^p
Onde é um número real positivo. O teste da série p nos diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.

Passo 5

No nosso caso, o valor de é , que claramente é menor que 1. Segundo o teste da série p, isso significa que a série não vai somar para um número finito, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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