Verifique se cada uma das séries converge ou diverge (justifique sua resposta):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é a de séries numéricas, mais especificamente, o teste da série p. Para isso, vamos precisar identificar o valor de
na nossa série e aplicar o teste para ver o que acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão da série de uma forma mais simples. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar os componentes dessa série. Note que a constante 7 pode ser fatorada para fora da soma, mas como estamos interessados apenas na convergência ou divergência, podemos ignorar essa constante para facilitar a análise. Assim, focamos na série:
Passo 4
Essa é uma série p, que tem a forma geral:
Onde
é um número real positivo. O teste da série p nos diz que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Passo 5
No nosso caso, o valor de
é
, que claramente é menor que 1. Segundo o teste da série p, isso significa que a série não vai somar para um número finito, ou seja, ela diverge.
Resposta
A série
diverge.