Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A pergunta é:
Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas como a tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como calcular limites que resultam em formas indeterminadas, como 0/0, e aplicar algumas técnicas básicas de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
.
-
Numerador:
não está definido porque a tangente de tende ao infinito. Porém, como subtraímos 1, precisamos entender melhor o comportamento perto desse ponto. -
Denominador:
tende a 0 à medida que se aproxima de .
Isso nos leva a uma forma indeterminada
, que sugere que o limite pode tender a infinito ou menos infinito. Mas para ter certeza, vamos usar uma técnica mais precisa.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
Assim, quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Podemos reescrever o limite em termos de
:
Agora, precisamos lembrar de uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar
.
Passo 4
Sabemos que:
Então, substituindo na nossa expressão:
Vamos simplificar o numerador:
Então, nosso limite fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento das funções quando
se aproxima de 0:
-
tende a 1. -
tende a 0, mas podemos usar a aproximação para valores pequenos de .
Substituindo essas aproximações:
Então, a expressão se aproxima de:
À medida que
tende a 0,
tende a 1, então:
Passo 6
Agora, observamos que
é sempre positivo e tende a 0 à medida que
se aproxima de 0. Portanto,
tende a
.