lim x pi / 2 tan (x)-1x-pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A pergunta é:
lim x pi2 tan (x)-1x-pi2
Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas como a tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como calcular limites que resultam em formas indeterminadas, como 0/0, e aplicar algumas técnicas básicas de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de .
  • Numerador: não está definido porque a tangente de tende ao infinito. Porém, como subtraímos 1, precisamos entender melhor o comportamento perto desse ponto.
  • Denominador: tende a 0 à medida que se aproxima de .
Isso nos leva a uma forma indeterminada , que sugere que o limite pode tender a infinito ou menos infinito. Mas para ter certeza, vamos usar uma técnica mais precisa.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
h = x - pi2
Assim, quando limh to 0 tan(pi2 + h) - 1h se aproxima de , se aproxima de 0. Podemos reescrever o limite em termos de :
Agora, precisamos lembrar de uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar .

Passo 4

Sabemos que:
tan(pi2 + h) = -cot(h)
Então, substituindo na nossa expressão:
limh to 0 -cot(h) - 1h = limh to 0 -cos(h)sin(h) - 1h
Vamos simplificar o numerador:
-cos(h)sin(h) - 1 = -cos(h) + sin(h)sin(h)
Então, nosso limite fica:
limh to 0 -cos(h) + sin(h)sin(h)h = limh to 0 -(cos(h) + sin(h))h cdot sin(h)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento das funções quando cos(h) + sin(h) approx 1 + h se aproxima de 0:
  • sin(h) approx h tende a 1.
  • -(1 + h)h cdot h = -(1 + h)h^2 tende a 0, mas podemos usar a aproximação -1h^2 para valores pequenos de .
Substituindo essas aproximações:
Então, a expressão se aproxima de:
À medida que tende a 0, tende a 1, então:

Passo 6

Agora, observamos que é sempre positivo e tende a 0 à medida que se aproxima de 0. Portanto, tende a .

Resposta

lim x pi2 tan (x)-1x-pi2 = -infty

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