Verifique se cada uma das sequências converge ou diverge (justifique sua resposta):
.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O conteúdo envolvido aqui é o de limites de sequências, especialmente sequências que envolvem expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e usar propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, observamos que
pode ser reescrito como
. Isso simplifica a expressão para
.
Passo 3
Agora, reconhecemos que temos uma expressão do tipo
, onde
é uma constante e
,
são funções de
. Sabemos que, se
e
está relacionado a
, podemos usar a propriedade
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade, identificamos que:
Para valores de
grandes, podemos aproximar
quando
é pequeno. Assim:
Passo 5
Substituindo na expressão anterior:
Simplificando
, para
grande, isso se aproxima de
.
Passo 6
Portanto, a expressão original se aproxima de:
Como
é uma constante finita, concluímos que a sequência converge.
Resposta
A sequência
converge para
.