Verifique se cada uma das sequências converge ou diverge (justifique sua resposta): {(n/(n+2))^n}_{1}^{+infinito}.

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O conteúdo envolvido aqui é o de limites de sequências, especialmente sequências que envolvem expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e usar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, observamos que pode ser reescrito como . Isso simplifica a expressão para .

Passo 3

Agora, reconhecemos que temos uma expressão do tipo , onde é uma constante e , são funções de . Sabemos que, se e está relacionado a , podemos usar a propriedade .

Passo 4

Aplicando essa propriedade, identificamos que:
Para valores de grandes, podemos aproximar quando é pequeno. Assim:

Passo 5

Substituindo na expressão anterior:
Simplificando , para grande, isso se aproxima de .

Passo 6

Portanto, a expressão original se aproxima de:
Como é uma constante finita, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge para .

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