Calcule as integrais de linha
c) onde e é a curva parametrizada por ;
Passo 1
Beleza, vamos calcular uma integral de linha aqui! O que a gente tem é uma função vetorial e uma curva parametrizada por para entre e . A matéria envolvida aqui são integrais de linha, que basicamente somam os efeitos de uma função vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha de uma função vetorial ao longo de uma curva parametrizada de a . A fórmula é:
Ou seja, a gente substitui as funções e suas derivadas na expressão e integra.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da nossa função vetorial :
Agora, a curva dada é , então:
Vamos também calcular as derivadas de e em relação a :
Passo 4
Substituindo tudo na fórmula da integral de linha:
Vamos calcular e :
Então a integral fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
:
(pi cdot 0 + cos pi) - (0 cdot 0 + cos 0) = (-1) - (1) = -2 :
Usamos integração por partes, onde integral sin t cos t dt = 12 integral sin 2t dt = -14 cos 2t |0^pi = -14 (cos 2pi - cos 0) = -14(1 -1) = 0 e . Então, e .