Calcule as integrais de linha
c) integralC F cdot d r onde F(x, y)=(x^2, x-y) e C é a curva parametrizada por sigma(t)=(t, sin t), t in[0, pi];

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral de linha aqui! O que a gente tem é uma função vetorial e uma curva parametrizada por para entre e . A matéria envolvida aqui são integrais de linha, que basicamente somam os efeitos de uma função vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha de uma função vetorial integralC F cdot dr = integrala^b ( P(x(t), y(t)) cdot x'(t) + Q(x(t), y(t)) cdot y'(t) ) dt ao longo de uma curva parametrizada de a . A fórmula é:
Ou seja, a gente substitui as funções e suas derivadas na expressão e integra.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da nossa função vetorial P(x, y) = x^2 e Q(x, y) = x - y :
x(t) = t e y(t) = sin t
Agora, a curva dada é x'(t) = dxdt = 1 e y'(t) = dydt = cos t , então:
Vamos também calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da integral de linha:
integral0^pi ( P(t, sin t) cdot x'(t) + Q(t, sin t) cdot y'(t) ) dt
Vamos calcular P(t, sin t) = t^2 e Q(t, sin t) = t - sin t e integral0^pi ( t^2 cdot 1 + (t - sin t) cdot cos t ) dt :
integral0^pi ( t^2 + t cos t - sin t cos t ) dt
Então a integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
  1. integral t^2 dt = t^33 |0^pi = pi^33 - 0 = pi^33 :
integral t cos t dt = t sin t - integral sin t dt = t sin t + cos t |0^pi
  1. (pi cdot 0 + cos pi) - (0 cdot 0 + cos 0) = (-1) - (1) = -2 :
    Usamos integração por partes, onde integral sin t cos t dt = 12 integral sin 2t dt = -14 cos 2t |0^pi = -14 (cos 2pi - cos 0) = -14(1 -1) = 0 e . Então, e .
    Avaliando:
  2. :
    Podemos usar a identidade , então:

Passo 6

Agora, somando todas as partes:
pi^33 + (-2) - 0 = pi^33 - 2

Resposta

A integral de linha é .

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