Calcule as integrais de linha
c) onde e é a curva parametrizada por ;

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral de linha aqui! O que a gente tem é uma função vetorial e uma curva parametrizada por para entre e . A matéria envolvida aqui são integrais de linha, que basicamente somam os efeitos de uma função vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha de uma função vetorial ao longo de uma curva parametrizada de a . A fórmula é:
Ou seja, a gente substitui as funções e suas derivadas na expressão e integra.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da nossa função vetorial :
Agora, a curva dada é , então:
Vamos também calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da integral de linha:
Vamos calcular e :
Então a integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
  1. :
  1. :
    Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
    Avaliando:
  2. :
    Podemos usar a identidade , então:

Passo 6

Agora, somando todas as partes:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Seja o campo
a) Determine para que seja conservativo;
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
b)
Calcule as integrais de linha
i) e é a curva formada pelos segmentos de reta partindo do ponto para o ponto depois do ponto para o ponto e voltando para o ponto ;
Determine a area da região limitada por . (Dica: Teorema de Green).