Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para isso, vamos precisar verificar se as derivadas cruzadas do campo são iguais e, se forem, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial. Isso significa que a circulação do campo ao longo de qualquer caminho fechado é zero, e que as derivadas parciais cruzadas satisfazem certas condições.

Passo 3

Vamos começar verificando se as derivadas parciais do campo vetorial são iguais. Nosso campo é:
Denotando as componentes por , e :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Como , a primeira condição é satisfeita.
Agora:
Também, , então a segunda condição está ok.
Por último:
E , então a terceira condição também é satisfeita.
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que pode depender de e apenas.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando com , temos:
é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Finalmente, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando com , temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função potencial é:

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d) ;
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além disso esboce a involuta do círculo.