Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para isso, vamos precisar verificar se as derivadas cruzadas do campo são iguais e, se forem, integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial. Isso significa que a circulação do campo ao longo de qualquer caminho fechado é zero, e que as derivadas parciais cruzadas satisfazem certas condições.
Passo 3
Vamos começar verificando se as derivadas parciais do campo vetorial são iguais. Nosso campo é:
Denotando as componentes por
,
e
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a primeira condição é satisfeita.
Agora:
Também,
, então a segunda condição está ok.
Por último:
E
, então a terceira condição também é satisfeita.
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
apenas.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando com
, temos:
Passo 7
Finalmente, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando com
, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função potencial é: