Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: r(t) = (1/t, 1/t, t^2) e r(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar a equação da reta tangente à trajetória da função vetorial dada no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, principalmente derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto específico . Isso significa substituir na função .
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor velocidade ou a direção da reta tangente.
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Vamos agora calcular substituindo na derivada que encontramos.
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação geral de uma reta no espaço é:
Onde é um parâmetro.
Substituindo os valores:

Passo 6

Expandindo a equação paramétrica, temos:
Podemos também escrever isso em termos de componentes , e :

Resposta

A equação da reta tangente à trajetória da função no ponto é:

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