Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar a equação da reta tangente à trajetória da função vetorial dada no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, principalmente derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto específico . Isso significa substituir na função .
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor velocidade ou a direção da reta tangente.
Derivando cada componente em relação a :
Passo 4
Vamos agora calcular substituindo na derivada que encontramos.
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .
Passo 5
Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação geral de uma reta no espaço é:
Onde é um parâmetro.
Substituindo os valores:
Passo 6
Expandindo a equação paramétrica, temos:
Podemos também escrever isso em termos de componentes , e :
Resposta
A equação da reta tangente à trajetória da função no ponto é: