A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta colocado da origem do plano
e seu raio é
, e que o fio começa a se desenrolar no ponto
. Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:
além disso esboce a involuta do círculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a involuta de uma circunferência. A involuta é aquela curva que a ponta de um fio traça quando ele está desenrolando de um carretel fixo, sempre mantendo o fio esticado. Aqui, o carretel tem raio
e está centrado na origem do plano
. A gente precisa descobrir as equações paramétricas dessa involuta para uma volta completa do fio, ou seja, quando o ângulo
varia de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando desenrolamos o fio. Imagine que o fio está enrolado no carretel e começa no ponto
. À medida que desenrolamos o fio, o ponto que está na extremidade do fio se move, formando a involuta.
Passo 3
Para encontrar as equações paramétricas
e
, precisamos relacionar o ângulo
que o fio desenrola com as coordenadas desse ponto. Vamos usar um pouco de geometria e cálculo aqui.
Passo 4
A involuta pode ser descrita usando as seguintes fórmulas:
Essas equações mostram como as coordenadas
e
mudam conforme
varia.
Passo 5
Vamos ver por que essas fórmulas funcionam. À medida que
aumenta, o fio desenrola uma distância proporcional a
. A parte
e
representam a posição do ponto
no círculo, enquanto
e
ajustam a posição do ponto na involuta conforme o fio se desenrola.
Passo 6
Para verificar que essas são realmente as equações da involuta, podemos derivar as componentes
e
e ver se elas satisfazem as propriedades da involuta, como manter o fio sempre esticado e desenrolar uma volta completa.
Passo 7
Finalmente, para esboçar a involuta, podemos plotar os pontos
e
para vários valores de
entre
e
. O resultado será uma curva que parece uma espiral que se desenrola a partir do ponto
.
Resposta
As equações paramétricas da involuta são:
para
. Além disso, ao esboçar a curva, vemos que a involuta forma uma espiral suave que sai do ponto
à medida que o fio se desenrola uma volta completa.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e
.
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
f)
f)
Reparametrize a hélice circular
utilizando o comprimento de arco medido a partir de
na direção de crescimento de
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
.