A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta colocado da origem do plano e seu raio é , e que o fio começa a se desenrolar no ponto . Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:
além disso esboce a involuta do círculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a involuta de uma circunferência. A involuta é aquela curva que a ponta de um fio traça quando ele está desenrolando de um carretel fixo, sempre mantendo o fio esticado. Aqui, o carretel tem raio e está centrado na origem do plano . A gente precisa descobrir as equações paramétricas dessa involuta para uma volta completa do fio, ou seja, quando o ângulo varia de a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando desenrolamos o fio. Imagine que o fio está enrolado no carretel e começa no ponto . À medida que desenrolamos o fio, o ponto que está na extremidade do fio se move, formando a involuta.

Passo 3

Para encontrar as equações paramétricas e , precisamos relacionar o ângulo que o fio desenrola com as coordenadas desse ponto. Vamos usar um pouco de geometria e cálculo aqui.

Passo 4

A involuta pode ser descrita usando as seguintes fórmulas:
Essas equações mostram como as coordenadas e mudam conforme varia.

Passo 5

Vamos ver por que essas fórmulas funcionam. À medida que aumenta, o fio desenrola uma distância proporcional a . A parte e representam a posição do ponto no círculo, enquanto e ajustam a posição do ponto na involuta conforme o fio se desenrola.

Passo 6

Para verificar que essas são realmente as equações da involuta, podemos derivar as componentes e e ver se elas satisfazem as propriedades da involuta, como manter o fio sempre esticado e desenrolar uma volta completa.

Passo 7

Finalmente, para esboçar a involuta, podemos plotar os pontos e para vários valores de entre e . O resultado será uma curva que parece uma espiral que se desenrola a partir do ponto .

Resposta

As equações paramétricas da involuta são:
para . Além disso, ao esboçar a curva, vemos que a involuta forma uma espiral suave que sai do ponto à medida que o fio se desenrola uma volta completa.

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f)
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