Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial F(x, y) = (e^x sen(y), e^x sen(y)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial F(x, y) = (e^x sen(y), e^x sen(y)) é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Campos conservativos são importantes porque têm propriedades legais, tipo poderem ser descritos por uma função escalar. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que , ou seja, e . Além disso, para campos em duas dimensões, uma condição necessária e suficiente para ser conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais: .

Passo 3

Vamos aplicar essa condição ao nosso campo F(x, y) = (e^x sen(y), e^x sen(y)). Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Agora, comparamos e :
  • não é igual a

Passo 4

Como , isso significa que o campo F não satisfaz a condição necessária para ser conservativo. Portanto, o campo não é conservativo e não existe uma função potencial para ele.

Resposta

O campo F(x, y) = (e^x sen(y), e^x sen(y)) não é conservativo, portanto, não existe uma função potencial para ele.

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