Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Campos conservativos são importantes porque têm propriedades legais, tipo poderem ser descritos por uma função escalar. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja,
e
. Além disso, para campos em duas dimensões, uma condição necessária e suficiente para ser conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais:
.
Passo 3
Vamos aplicar essa condição ao nosso campo
. Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, comparamos
e
:
-
não é igual a
Passo 4
Como
, isso significa que o campo
não satisfaz a condição necessária para ser conservativo. Portanto, o campo não é conservativo e não existe uma função potencial para ele.
Resposta
O campo
não é conservativo, portanto, não existe uma função potencial para ele.
Exercícios relacionados
Problema 2. (Use coordenadas cilíndricas)
Um sólido é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância do ponto
ao eixo
. Encontre a massa de
.
Um sólido
Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
.
Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
.