Verifique se as coleções de eventos abaixo foram uma partição do espaço amostral associado.
No espaço amostral Omega=1,2, ldots, 199,200, os eventos A1, A2, ldots, A20 tais que, para j=1,2, ldots, 20,
Aj=10 times(j-1)+k: k=1, ldots, 9,10

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se as coleções de eventos $ A_{1}, A_{2}, ···, A_{20} $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega = {1, 2, ···, 200} $. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das probabilidades, especificamente sobre partições de espaço amostral.

Passo 2

Primeiro, o que é uma partição de espaço amostral? É uma coleção de eventos que:
  1. São mutuamente exclusivos: ou seja, nenhum elemento do espaço amostral pertence a mais de um evento.
  2. A união de todos os eventos da coleção cobre todo o espaço amostral.
Vamos verificar esses dois pontos para os eventos $ A_{1}, A_{2}, ···, A_{20} $.

Passo 3

Vamos analisar a definição dos eventos:
Aj = 10 times (j-1) + k : k = 1, ldots, 10
Isso significa que cada $ A_{j} $ contém 10 números consecutivos. Por exemplo:
  • $ A_{1} = {1, 2, ···, 10} $
  • $ A_{2} = {11, 12, ···, 20} $
  • $ \vdots $
  • $ A_{20} = {191, 192, ···, 200} $

Passo 4

Primeiro critério: Mutuamente exclusivos
Vamos ver se algum número está presente em mais de um $ A_{j} $. Observando a definição:
  • $ A_{j} $ vai de $ 10 \times (j-1) +1 $ até $ 10 \times (j-1) +10 $.
  • Por exemplo, $ A_{1} $ vai de 1 a 10 e $ A_{2} $ de 11 a 20.
Como os intervalos não se sobrepõem, nenhum número está em mais de um evento. Então, os eventos são mutuamente exclusivos.

Passo 5

Segundo critério: União cobre todo o espaço amostral
Precisamos verificar se a união de todos os $ A_{j} $ abrange todos os números de 1 a 200.
Como cada $ A_{j} $ cobre 10 números consecutivos e temos 20 desses eventos:
Aj
Isso cobre exatamente todos os números de 1 a 200, sem faltar nenhum e sem repetir.

Resposta

Sim, as coleções de eventos $ A_{1}, A_{2}, ···, A_{20} $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega = {1, 2, ···, 200} $.

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