Verifique se as coleções de eventos abaixo foram uma partição do espaço amostral associado.
No espaço amostral
, os eventos
tais que, para
,
No espaço amostral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se as coleções de eventos $ A_{1}, A_{2}, ···, A_{20} $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega = {1, 2, ···, 200} $. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das probabilidades, especificamente sobre partições de espaço amostral.
Passo 2
Primeiro, o que é uma partição de espaço amostral? É uma coleção de eventos que:
- São mutuamente exclusivos: ou seja, nenhum elemento do espaço amostral pertence a mais de um evento.
- A união de todos os eventos da coleção cobre todo o espaço amostral.
Vamos verificar esses dois pontos para os eventos $ A_{1}, A_{2}, ···, A_{20} $.
Passo 3
Vamos analisar a definição dos eventos:
Isso significa que cada $ A_{j} $ contém 10 números consecutivos. Por exemplo:
- $ A_{1} = {1, 2, ···, 10} $
- $ A_{2} = {11, 12, ···, 20} $
- $ \vdots $
- $ A_{20} = {191, 192, ···, 200} $
Passo 4
Primeiro critério: Mutuamente exclusivos
Vamos ver se algum número está presente em mais de um $ A_{j} $. Observando a definição:
- $ A_{j} $ vai de $ 10 \times (j-1) +1 $ até $ 10 \times (j-1) +10 $.
- Por exemplo, $ A_{1} $ vai de 1 a 10 e $ A_{2} $ de 11 a 20.
Como os intervalos não se sobrepõem, nenhum número está em mais de um evento. Então, os eventos são mutuamente exclusivos.
Passo 5
Segundo critério: União cobre todo o espaço amostral
Precisamos verificar se a união de todos os $ A_{j} $ abrange todos os números de 1 a 200.
Como cada $ A_{j} $ cobre 10 números consecutivos e temos 20 desses eventos:
Isso cobre exatamente todos os números de 1 a 200, sem faltar nenhum e sem repetir.
Resposta
Sim, as coleções de eventos $ A_{1}, A_{2}, ···, A_{20} $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega = {1, 2, ···, 200} $.