Verifique se as coleções de eventos abaixo foram uma partição do espaço amostral associado.
No espaço amostral
, os eventos:
No espaço amostral
Passo 1
Então, você quer verificar se os eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} $. Vamos precisar entender o que é uma partição, identificar os elementos de cada evento e verificar duas coisas principais: se os eventos são exaustivos (cobrem todo o espaço) e se são mutuamente exclusivos (não se sobrepõem).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma partição. Uma partição do espaço amostral é uma coleção de eventos que satisfaz duas condições:
- Exaustividade: A união de todos os eventos na partição deve cobrir todo o espaço amostral.
- Mutual Exclusão: Nenhum par de eventos na partição deve ter elementos em comum.
Vamos identificar cada evento:
- $ A_1 $ = números pares.
- $ A_2 $ = números múltiplos de 5.
- $ A_3 $ = complemento da união de $ A_1 $ e $ A_2 $, ou seja, todos os números que não são pares nem múltiplos de 5.
Passo 3
Vamos listar os elementos de cada evento:
- $ A_1 $: números pares em $ \Omega $ = $ {2, 4, 6, 8} $.
- $ A_2 $: múltiplos de 5 em $ \Omega $ = $ {5} $.
- $ A_3 $: complemento de $ A_1 \cup A_2 $ = $ \Omega \setminus {2, 4, 5, 6, 8} = {1, 3, 7, 9} $.
Passo 4
Agora, vamos verificar a exaustividade. A união de $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ deve ser igual a $ \Omega $:
Então, a primeira condição de exaustividade está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a mutual exclusão, ou seja, se não há sobreposição entre os eventos. Precisamos garantir que a interseção de qualquer par de eventos seja vazia:
- $ A_1 \cap A_2 = {2, 4, 6, 8} \cap {5} = \emptyset $
- $ A_1 \cap A_3 = {2, 4, 6, 8} \cap {1, 3, 7, 9} = \emptyset $
- $ A_2 \cap A_3 = {5} \cap {1, 3, 7, 9} = \emptyset $
Todas as interseções são vazias, então a segunda condição de mutual exclusão também está satisfeita.
Resposta
Sim, os eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ formam uma partição do espaço amostral $ \Omega $.