Verifique se as coleções de eventos abaixo foram uma partição do espaço amostral associado.
No espaço amostral Omega=1,2, ldots, 199,200, os eventos:
& A1= numero múúú

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço amostral Omega = 1, 2, ldots, 199, 200, que é basicamente todos os números de 1 a 200. Temos três eventos:
  • A1: número múltiplo de 10
  • A2: número múltiplo de 11
  • A3: o complemento da união de A1 e A2, ou seja, A3 = (A1 cup A2)^C
Queremos verificar se esses três eventos formam uma partição do espaço amostral Omega. Para isso, precisamos entender o que é uma partição. Basicamente, uma coleção de eventos é uma partição se:
  1. Exaustividade: A união de todos os eventos cobre todo o espaço amostral.
  2. Mutuamente Exclusivos: Nenhum evento tem elementos em comum com outro evento na coleção.
Vamos usar esses conceitos para verificar se A1, A2 e A3 formam uma partição de Omega.

Passo 2

Verificando a Exaustividade
Primeiro, vamos ver se a união de A1, A2 e A3 cobre todo o espaço amostral.
Sabemos que:
A3 = (A1 cup A2)^C
Isso significa que A3 contém todos os elementos que não estão nem em A1 nem em A2. Então, quando unimos A1, A2 e A3:
A1 cup A2 cup A3 = A1 cup A2 cup (A1 cup A2)^C = Omega
Portanto, a união dos três eventos cobre todo o espaço amostral, satisfazendo a exaustividade.

Passo 3

Verificando a Mutuabilidade Exclusiva
Agora, vamos verificar se esses eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, se não há sobreposição entre eles.
  • A1 e A2: Um número pode ser múltiplo de 10 e de 11 ao mesmo tempo? Vamos ver:
O mínimo múltiplo comum de 10 e 11 é 110. Dentro do nosso espaço amostral, 110 está presente. Logo, A1 e A2 têm pelo menos um elemento em comum (110).
  • A1 e A3: Por definição, A3 contém elementos que não estão em A1 nem em A2. Então, não há sobreposição entre A1 e A3.
  • A2 e A3: Similarmente, A3 não tem elementos que estão em A2, então também não há sobreposição entre eles.
Como A1 e A2 têm um elemento comum (110), os eventos não são mutuamente exclusivos.

Passo 4

Conclusão
Para que uma coleção de eventos seja uma partição do espaço amostral, ela precisa ser exaustiva e mutuamente exclusiva. No nosso caso:
  • Exaustividade: Sim, a união de A1, A2 e A3 cobre todo o espaço amostral.
  • Mutuamente Exclusiva: Não, pois A1 e A2 compartilham o número 110.
Portanto, os eventos A1, A2 e A3 não formam uma partição do espaço amostral Omega.

Resposta

Os eventos A1, A2 e A3 não formam uma partição do espaço amostral Omega.

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