Verifique se as coleções de eventos abaixo foram uma partição do espaço amostral associado.
No espaço amostral
, os eventos:
No espaço amostral
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço amostral
, que é basicamente todos os números de 1 a 200. Temos três eventos:
-
: número múltiplo de 10 -
: número múltiplo de 11 -
: o complemento da união de e , ou seja,
Queremos verificar se esses três eventos formam uma partição do espaço amostral
. Para isso, precisamos entender o que é uma partição. Basicamente, uma coleção de eventos é uma partição se:
- Exaustividade: A união de todos os eventos cobre todo o espaço amostral.
- Mutuamente Exclusivos: Nenhum evento tem elementos em comum com outro evento na coleção.
Vamos usar esses conceitos para verificar se
,
e
formam uma partição de
.
Passo 2
Verificando a Exaustividade
Primeiro, vamos ver se a união de
,
e
cobre todo o espaço amostral.
Sabemos que:
Isso significa que
contém todos os elementos que não estão nem em
nem em
. Então, quando unimos
,
e
:
Portanto, a união dos três eventos cobre todo o espaço amostral, satisfazendo a exaustividade.
Passo 3
Verificando a Mutuabilidade Exclusiva
Agora, vamos verificar se esses eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, se não há sobreposição entre eles.
-
e : Um número pode ser múltiplo de 10 e de 11 ao mesmo tempo? Vamos ver:
O mínimo múltiplo comum de 10 e 11 é 110. Dentro do nosso espaço amostral, 110 está presente. Logo,
e
têm pelo menos um elemento em comum (110).
-
e : Por definição, contém elementos que não estão em nem em . Então, não há sobreposição entre e . -
e : Similarmente, não tem elementos que estão em , então também não há sobreposição entre eles.
Como
e
têm um elemento comum (110), os eventos não são mutuamente exclusivos.
Passo 4
Conclusão
Para que uma coleção de eventos seja uma partição do espaço amostral, ela precisa ser exaustiva e mutuamente exclusiva. No nosso caso:
- Exaustividade: Sim, a união de
, e cobre todo o espaço amostral. - Mutuamente Exclusiva: Não, pois
e compartilham o número 110.
Portanto, os eventos
,
e
não formam uma partição do espaço amostral
.
Resposta
Os eventos
,
e
não formam uma partição do espaço amostral
.