Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
com as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
é o conjunto de todas as funções contínuas de
para
, ou seja,
. O conjunto
é definido como todas as funções
em
que satisfazem a condição
. Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e verificar cada um deles para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se:
- Contém o vetor zero: O conjunto
deve conter o vetor zero de . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é a função que atribui zero para todo
em
, ou seja,
para todo
. Vamos verificar se essa função está em
:
Como a integral é igual a zero, a função zero está em
. Então, o primeiro critério é satisfeito.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos considerar duas funções quaisquer
e
em
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também está em
. Calculamos a integral de
:
Portanto,
também satisfaz a condição para estar em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função
em
e um escalar
. Queremos mostrar que
também está em
. Calculamos a integral de
:
Assim,
também satisfaz a condição para estar em
. Logo,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todos os três critérios (contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
41
Mostre que , dada por
, é uma transformação linear.
Mostre que
Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
com as operações usuais.
Considere o triângulo
cujos vértices são
e
. Represente o triângulo no plano cartesiano e calcule o comprimento da mediana
, sendo
o ponto médio do lado
.