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Mostre que , dada por , é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar se satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Verificando a Adição de Vetores:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em , digamos e .
Primeiro, calculamos .
Agora, aplicamos a transformação nesse vetor somado:
Vamos simplificar:
Por outro lado, somamos e :
Simplificando:
Observamos que . Portanto, a primeira condição da linearidade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos pegar um vetor em e um escalar .
Primeiro, multiplicamos o vetor por :
Agora, aplicamos a transformação nesse vetor escalado:
Simplificando:
Portanto, , o que confirma que a segunda condição da linearidade também está satisfeita.

Resposta

Como satisfaz as duas propriedades necessárias, concluímos que é uma transformação linear.

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