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Mostre que
, dada por
, é uma transformação linear.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a transformação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar se
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a Adição de Vetores:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
.
Primeiro, calculamos
.
Agora, aplicamos a transformação
nesse vetor somado:
Vamos simplificar:
Por outro lado, somamos
e
:
Simplificando:
Observamos que
. Portanto, a primeira condição da linearidade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
.
Primeiro, multiplicamos o vetor por
:
Agora, aplicamos a transformação
nesse vetor escalado:
Simplificando:
Portanto,
, o que confirma que a segunda condição da linearidade também está satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz as duas propriedades necessárias, concluímos que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
com as operações usuais.
Seja
uma matriz
simétrica.
Sabendo-se e
são os únicos autovalores de
e que
e
são autovetores associados
, encontre, se existir, uma matriz ortogonal
que diagonalize
.
Sabendo-se
Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
com as operações usuais.
Considere o triângulo
cujos vértices são
e
. Represente o triângulo no plano cartesiano e calcule o comprimento da mediana
, sendo
o ponto médio do lado
.