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Mostre que T: R^2 mathscrP2, dada por T(a, b)=a t^2+b t+(a+b), é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar se satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Verificando a Adição de Vetores:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em T(u + v) = T(a1 + a2, b1 + b2) = (a1 + a2) t^2 + (b1 + b2) t + [(a1 + a2) + (b1 + b2)] , digamos = a1 t^2 + a2 t^2 + b1 t + b2 t + (a1 + a2 + b1 + b2) e T(u) + T(v) = [a1 t^2 + b1 t + (a1 + b1)] + [a2 t^2 + b2 t + (a2 + b2)] .
Primeiro, calculamos = a1 t^2 + a2 t^2 + b1 t + b2 t + (a1 + b1 + a2 + b2) .
Agora, aplicamos a transformação nesse vetor somado:
Vamos simplificar:
Por outro lado, somamos e :
Simplificando:
Observamos que . Portanto, a primeira condição da linearidade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos pegar um vetor cu = (c a, c b) em T(cu) = T(c a, c b) = (c a) t^2 + (c b) t + [(c a) + (c b)] e um escalar = c a t^2 + c b t + c(a + b) = c(a t^2 + b t + (a + b)) = c T(u) .
Primeiro, multiplicamos o vetor por :
Agora, aplicamos a transformação nesse vetor escalado:
Simplificando:
Portanto, , o que confirma que a segunda condição da linearidade também está satisfeita.

Resposta

Como satisfaz as duas propriedades necessárias, concluímos que é uma transformação linear.

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