Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
com as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Isso significa que
deve satisfazer algumas condições específicas para ser considerado um subespaço. Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial e aplicar elas no conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio. Um subespaço sempre precisa conter pelo menos o vetor zero (no nosso caso, a função zero).
A função zero é aquela que, para todo
,
. Vamos ver se ela pertence a
:
Então, a função zero satisfaz
e, portanto, está em
. Então,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob a adição de funções. Isso significa que se pegarmos duas funções
e
que estão em
, a soma delas
também deve estar em
.
Sabemos que
implicam que:
Vamos somar essas duas equações:
Isso significa que:
Logo,
também satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, precisamos verificar se
é fechado sob multiplicação por um escalar. Ou seja, se pegarmos uma função
e um escalar
, a função
também deve estar em
.
Sabemos que
implica que:
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Portanto,
também satisfaz a condição para estar em
, o que significa que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.