Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de : com as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Isso significa que deve satisfazer algumas condições específicas para ser considerado um subespaço. Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial e aplicar elas no conjunto .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se não está vazio. Um subespaço sempre precisa conter pelo menos o vetor zero (no nosso caso, a função zero).
A função zero é aquela que, para todo , . Vamos ver se ela pertence a :
Então, a função zero satisfaz e, portanto, está em . Então, não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos checar se é fechado sob a adição de funções. Isso significa que se pegarmos duas funções e que estão em , a soma delas também deve estar em .
Sabemos que implicam que:
Vamos somar essas duas equações:
Isso significa que:
Logo, também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, precisamos verificar se é fechado sob multiplicação por um escalar. Ou seja, se pegarmos uma função e um escalar , a função também deve estar em .
Sabemos que implica que:
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Portanto, também satisfaz a condição para estar em , o que significa que é fechado sob multiplicação por escalar.