Verifique se o conjunto W com as operações indicadas é um subespaço vetorial de V :
V=C^2(R, R), W=y in C^2(R ; R) ; y^prime prime-y=0 com as operações usuais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Isso significa que deve satisfazer algumas condições específicas para ser considerado um subespaço. Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial e aplicar elas no conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se y'' - y = 0'' - 0 = 0 - 0 = 0 não está vazio. Um subespaço sempre precisa conter pelo menos o vetor zero (no nosso caso, a função zero).
A função zero é aquela que, para todo , . Vamos ver se ela pertence a :
Então, a função zero satisfaz e, portanto, está em . Então, não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos checar se y1'' - y1 = 0 e y2'' - y2 = 0 é fechado sob a adição de funções. Isso significa que se pegarmos duas funções (y1'' - y1) + (y2'' - y2) = 0 + 0 implies (y1'' + y2'') - (y1 + y2) = 0 e (y1 + y2)'' - (y1 + y2) = 0 que estão em , a soma delas também deve estar em .
Sabemos que implicam que:
Vamos somar essas duas equações:
Isso significa que:
Logo, também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, precisamos verificar se y'' - y = 0 é fechado sob multiplicação por um escalar. Ou seja, se pegarmos uma função c cdot y'' - c cdot y = c cdot 0 implies (c cdot y)'' - (c cdot y) = 0 e um escalar , a função também deve estar em .
Sabemos que implica que:
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Portanto, também satisfaz a condição para estar em , o que significa que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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