Sejam S1=(x, y, z) in R^3 mid y=0 e S2=(-1,2,0),(3,1,1). Determine S1 cap S2 e S1+S2 indicando uma base e a dimensão em cada um dos casos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre dois conjuntos no espaço tridimensional, S1 e S2. Nosso objetivo é encontrar a interseção deles ( S1 cap S2) e a soma deles ( S1 + S2). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, base e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada conjunto representa.
  • S1=(x, y, z) in R^3 mid y=0: Esse conjunto é um plano no espaço tridimensional onde a coordenada y é sempre zero. Isso significa que qualquer ponto nesse conjunto tem a forma (x, 0, z).
  • S2=(-1,2,0),(3,1,1): Esse conjunto contém dois vetores específicos no espaço tridimensional.
Agora, para encontrar a interseção S1 cap S2, queremos achar os vetores que estão em ambos os conjuntos.

Passo 3

Vamos verificar quais vetores de S2 também pertencem a S1.
  • Primeiro vetor de S2: (-1, 2, 0). Aqui, a coordenada y é 2, que não é zero. Então, esse vetor não está em S1.
  • Segundo vetor de S2: (3, 1, 1). A coordenada y é 1, também não é zero. Portanto, esse vetor não está em S1.
Como nenhum dos vetores de S2 está em S1, a interseção S1 cap S2 é o conjunto vazio.

Passo 4

Agora, vamos determinar a soma S1 + S2. A soma de dois conjuntos de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores de S1 e de S2. Ou seja, qualquer vetor em S1 + S2 pode ser escrito como u + v, onde u in S1 e v in S2.
Como S1 é um plano onde y=0 e S2 contém vetores que não estão nesse plano, a soma S1 + S2 vai “preencher” o espaço tridimensional R^3. Isso porque combinando vetores de S1 com os de S2, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço.

Passo 5

Vamos identificar uma base para S1 + S2 e determinar sua dimensão.
  • Base de S1: Como S1 é um plano, uma base pode ser formada por dois vetores independentes, por exemplo, (1, 0, 0) e (0, 0, 1).
  • Vetores de S2: (-1, 2, 0) e (3, 1, 1). Para saber se eles adicionam algo novo à base, verificamos se são linearmente independentes dos vetores de S1. Como eles têm componentes em y, que não estão em S1, eles efetivamente aumentam a dimensão do espaço.
Portanto, combinando os vetores de S1 e S2, obtemos uma base para R^3, e a dimensão de S1 + S2 é 3.

Resposta

  • S1 cap S2 = emptyset (conjunto vazio).
  • S1 + S2 é todo o espaço R^3, com uma base formada por (1,0,0), (0,0,1), (-1,2,0) e (3,1,1), e dimensão 3.

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