Sejam
e
. Determine
e
indicando uma base e a dimensão em cada um dos casos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre dois conjuntos no espaço tridimensional,
e
. Nosso objetivo é encontrar a interseção deles (
) e a soma deles (
). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, base e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada conjunto representa.
-
: Esse conjunto é um plano no espaço tridimensional onde a coordenada é sempre zero. Isso significa que qualquer ponto nesse conjunto tem a forma . -
: Esse conjunto contém dois vetores específicos no espaço tridimensional.
Agora, para encontrar a interseção
, queremos achar os vetores que estão em ambos os conjuntos.
Passo 3
Vamos verificar quais vetores de
também pertencem a
.
-
Primeiro vetor de
: . Aqui, a coordenada é , que não é zero. Então, esse vetor não está em . -
Segundo vetor de
: . A coordenada é , também não é zero. Portanto, esse vetor não está em .
Como nenhum dos vetores de
está em
, a interseção
é o conjunto vazio.
Passo 4
Agora, vamos determinar a soma
. A soma de dois conjuntos de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores de
e de
. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
e
.
Como
é um plano onde
e
contém vetores que não estão nesse plano, a soma
vai “preencher” o espaço tridimensional
. Isso porque combinando vetores de
com os de
, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço.
Passo 5
Vamos identificar uma base para
e determinar sua dimensão.
-
Base de
: Como é um plano, uma base pode ser formada por dois vetores independentes, por exemplo, e . -
Vetores de
: e . Para saber se eles adicionam algo novo à base, verificamos se são linearmente independentes dos vetores de . Como eles têm componentes em , que não estão em , eles efetivamente aumentam a dimensão do espaço.
Portanto, combinando os vetores de
e
, obtemos uma base para
, e a dimensão de
é
.
Resposta
-
(conjunto vazio). -
é todo o espaço , com uma base formada por , , e , e dimensão 3.