Verifique que, dados os vetores u=(u1, u2), v=(v1, v2) e w=(w1, w2), o produto interno satisfaz lang<=u, vrang<==lang<=v, urang<=

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para a gente verificar que, dados três vetores , e em , o produto interno entre e é igual ao produto interno entre e . A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre produtos internos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o produto interno de dois vetores e aplicar a propriedade comutativa desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno de dois vetores lang<= a, b rang<= = a1 b1 + a2 b2 e em . A fórmula do produto interno é:
Isso significa que a gente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma esses produtos.

Passo 3

Agora, vamos calcular lang<= u, v rang<= = u1 v1 + u2 v2 usando a fórmula que acabamos de ver. Se e , então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular lang<= v, u rang<= = v1 u1 + v2 u2 . Usando a mesma fórmula, temos:

Passo 5

Agora, vamos comparar os dois resultados que obtivemos:
lang<= u, v rang<= = u1 v1 + u2 v2
lang<= v, u rang<= = v1 u1 + v2 u2
Perceba que é igual a e é igual a , porque a multiplicação é comutativa.

Passo 6

Então, juntando tudo, vemos que:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Isso mostra que o produto interno é comutativo para esses vetores.

Resposta

O produto interno satisfaz .

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Verifique que, dados os vetores u=(u1, u2), v=(v1, v2) e w=(w1, w2), o produto interno satisfaz lang<=alpha u, vrang<==alphalang<=u, vrang<=, onde alpha in R.
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