Verifique, por derivação, que a fórmula está correta.
(a) integral x cos x d x=x sen x+cos x+C.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é para verificar se a integral de realmente resulta em . Para fazer isso, vamos usar a derivação, que é uma ferramenta essencial no cálculo para encontrar a taxa de variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a expressão que supostamente é a integral: . Nosso objetivo é derivar essa expressão e ver se voltamos para .

Passo 3

Vamos começar derivando ddx(x sin x) = sin x + x cos x . Aqui, a gente precisa usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar ddx(cos x) = -sin x . Sabemos que a derivada de é:

Passo 5

A constante ddx(C) = 0 é simplesmente uma constante, e a derivada de uma constante é zero:

Passo 6

Agora, vamos somar todas as derivadas que calculamos:
sin x + x cos x - sin x + 0 = x cos x

Resposta

Depois de derivar , obtivemos exatamente , que era o integrando original. Portanto, a fórmula está correta!

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