Verifique, por derivação, que a fórmula está correta.
(a) .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é para verificar se a integral de realmente resulta em . Para fazer isso, vamos usar a derivação, que é uma ferramenta essencial no cálculo para encontrar a taxa de variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a expressão que supostamente é a integral: . Nosso objetivo é derivar essa expressão e ver se voltamos para .
Passo 3
Vamos começar derivando . Aqui, a gente precisa usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar . Sabemos que a derivada de é:
Passo 5
A constante é simplesmente uma constante, e a derivada de uma constante é zero:
Passo 6
Agora, vamos somar todas as derivadas que calculamos:
Resposta
Depois de derivar , obtivemos exatamente , que era o integrando original. Portanto, a fórmula está correta!