Calcule o comprimento do arco da função no intervalo .

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos calcular o comprimento do arco da função vetorial no intervalo de a . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de funções vetoriais e cálculo de comprimento de arcos. Para resolver, vamos precisar usar uma fórmula que relaciona a derivada das componentes da função vetorial com o comprimento do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como descreve uma curva no plano. Para encontrar o comprimento dessa curva entre dois pontos, usamos a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e representa a norma (ou comprimento) do vetor resultante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A função dada é . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma desse vetor derivado:
Essa expressão nos dá a taxa de variação do comprimento do arco em cada ponto .

Passo 5

Por fim, substituímos na fórmula do comprimento do arco e integramos de a :
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que ela é uma forma padrão que resulta em:
Calculando os valores nos limites e simplificando, obtemos o comprimento do arco.

Resposta

O comprimento do arco da função no intervalo é . Aproximadamente, isso resulta em unidades.

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