Ache o raio de convergência para as seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que precisa achar o raio de convergência. A série é ∑ₙ=₁^∞ x^{n!} \frac{n!}{n^{n}}. O assunto aqui é sobre séries de potências e raio de convergência, que nos ajuda a saber para quais valores de x a série vai “funcionar” (ou seja, convergir). Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Basicamente, ele nos diz o “círculo” ao redor de 0 onde a série converge. Para encontrá-lo, usamos o Teste da Raiz, que envolve calcular o limite:
onde
é o termo geral da série.
Passo 3
No nosso caso, o termo geral
é
. Vamos aplicar o Teste da Raiz:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, podemos separar as partes:
Que é igual a:
Passo 5
Agora, vamos analisar cada parte separadamente. A primeira parte é
. Como
cresce super rápido,
também cresce muito, então essa parte pode se tornar muito grande ou muito pequena dependendo de
.
A segunda parte é
. Sabemos que
pode ser aproximado por
(pela fórmula de Stirling), mas para simplificar, podemos considerar que
tende a 0 conforme
cresce.
Passo 6
Voltando ao limite, temos:
Isso porque, independentemente do valor de
, o segundo fator tende a 0, fazendo todo o produto tender a 0.
Passo 7
De acordo com o Teste da Raiz, se esse limite for menor que 1, a série converge. Como aqui sempre é 0, que é menor que 1, a série converge para todo valor de
.
Resposta
O raio de convergência é infinito, ou seja, a série converge para todo
.