Ache o raio de convergência para as seguintes séries. sumn=1^infty x^n! n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série que precisa achar o raio de convergência. A série é ∑ₙ=₁^∞ x^{n!} \frac{n!}{n^{n}}. O assunto aqui é sobre séries de potências e raio de convergência, que nos ajuda a saber para quais valores de x a série vai “funcionar” (ou seja, convergir). Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Basicamente, ele nos diz o “círculo” ao redor de 0 onde a série converge. Para encontrá-lo, usamos o Teste da Raiz, que envolve calcular o limite:
limsupn to infty raiz[n]|an|
onde é o termo geral da série.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral limsupn to infty raiz[n]|x^n! n!n^n| é . Vamos aplicar o Teste da Raiz:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, podemos separar as partes:
raiz[n]|x^n!| times raiz[n]n!n^n
Que é igual a:
|x|^n! / n times raiz[n]n!n^n

Passo 5

Agora, vamos analisar cada parte separadamente. A primeira parte é . Como cresce super rápido, também cresce muito, então essa parte pode se tornar muito grande ou muito pequena dependendo de .
A segunda parte é . Sabemos que pode ser aproximado por (pela fórmula de Stirling), mas para simplificar, podemos considerar que tende a 0 conforme cresce.

Passo 6

Voltando ao limite, temos:
limsupn to infty |x|^n! / n times 0 = 0
Isso porque, independentemente do valor de , o segundo fator tende a 0, fazendo todo o produto tender a 0.

Passo 7

De acordo com o Teste da Raiz, se esse limite for menor que 1, a série converge. Como aqui sempre é 0, que é menor que 1, a série converge para todo valor de .

Resposta

O raio de convergência é infinito, ou seja, a série converge para todo .

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