Verifique que
& E=Emax cos (k z-omega t) & B=Bmax cos (k z-omega t)
são soluções das equações de onda para o campo elétrico e magnético.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções para os campos elétrico & E = Emax cos(k z - omega t) & B = Bmax cos(k z - omega t) e magnético nabla^2 Psi - 1v^2 partial^2 Psipartial t^2 = 0 :
O objetivo é verificar se essas expressões satisfazem as equações de onda para os campos elétrico e magnético. Para isso, precisamos usar a equação de onda geral, que em termos de campo elétrico ou magnético é:
onde pode ser ou , e é a velocidade da onda (no caso, a velocidade da luz ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o laplaciano nabla^2 Psi = partial^2 Psipartial z^2 . Como as funções partial Epartial z = -Emax k sin(k z - omega t) e partial^2 Epartial z^2 = -Emax k^2 cos(k z - omega t) dependem apenas de nabla^2 E = -k^2 E e nabla^2 B = -k^2 B , o laplaciano simplifica para a derivada segunda em relação a :
Vamos calcular isso para :
Então,
O mesmo vale para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de partial Epartial t = Emax omega sin(k z - omega t) e partial^2 Epartial t^2 = Emax omega^2 cos(k z - omega t) :
Para partial^2 Epartial t^2 = omega^2 E :
partial^2 Bpartial t^2 = omega^2 B
Então,
E para :

Passo 4

Agora, vamos inserir esses resultados na equação de onda:
Para nabla^2 E - 1v^2 partial^2 Epartial t^2 = -k^2 E - omega^2v^2 E = 0 :
-k^2 - omega^2v^2 = 0 Rightarrow omega^2 = k^2 v^2
Para que isso seja válido, precisamos que:
omega = v k
Faz sentido, pois na física das ondas, a relação entre frequência angular e número de onda é:

Passo 5

Aplicando a mesma lógica para nabla^2 B - 1v^2 partial^2 Bpartial t^2 = -k^2 B - omega^2v^2 B = 0 :
omega^2 = k^2 v^2
E novamente, precisamos que:
O que confirma que ambas as funções e satisfazem a equação de onda.

Resposta

As expressões para e dadas são soluções das equações de onda para os campos elétrico e magnético, já que satisfazem a relação .

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