Verifique que
são soluções das equações de onda para o campo elétrico e magnético.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções para os campos elétrico
e magnético
:
O objetivo é verificar se essas expressões satisfazem as equações de onda para os campos elétrico e magnético. Para isso, precisamos usar a equação de onda geral, que em termos de campo elétrico
ou magnético
é:
onde
pode ser
ou
, e
é a velocidade da onda (no caso, a velocidade da luz
).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o laplaciano
. Como as funções
e
dependem apenas de
e
, o laplaciano simplifica para a derivada segunda em relação a
:
Vamos calcular isso para
:
Então,
O mesmo vale para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de
e
:
Para
:
Então,
E para
:
Passo 4
Agora, vamos inserir esses resultados na equação de onda:
Para
:
Para que isso seja válido, precisamos que:
Faz sentido, pois na física das ondas, a relação entre frequência angular
e número de onda
é:
Passo 5
Aplicando a mesma lógica para
:
E novamente, precisamos que:
O que confirma que ambas as funções
e
satisfazem a equação de onda.
Resposta
As expressões para
e
dadas são soluções das equações de onda para os campos elétrico e magnético, já que satisfazem a relação
.