As soluções da equação de onda eletromagnética podem se escrever
E & =E0 e^i(x kx+y ky+z kz-omega t) B & =B0 e^i(x kx+y ky+z kz-omega t)
A partir da lei de Faraday, mostre que k times E=omega B. O que podemos concluir sobre as direções de k, E e B ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as soluções para as ondas eletromagnéticas representadas pelas equações de campo elétrico E e campo magnético B. A matéria envolvida aqui é a Eletromagnetismo, mais especificamente as ondas eletromagnéticas e a Lei de Faraday. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Faraday às equações das ondas eletromagnéticas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Faraday da indução eletromagnética. Ela é expressa pela equação diferencial:
nabla times E = -partial Bpartial t
Isso significa que o rotacional do campo elétrico E é igual à taxa de variação temporal negativa do campo magnético B. Nosso objetivo é usar essa lei para relacionar k, E e B.

Passo 3

As soluções das equações de onda para E e B são dadas por:
E = E0 e^i(x kx+y ky+z kz-omega t)
B = B0 e^i(x kx+y ky+z kz-omega t)
Aqui, E0 e B0 são amplitudes constantes, k = (kx, ky, kz) é o vetor de onda, e omega é a frequência angular da onda.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de E, nabla times E. Para uma função do tipo e^i(k cdot r - omega t), o operador rotacional age da seguinte maneira:
nabla times E = i k times E
Isso ocorre porque o operador nabla aplicado à exponencial traz um fator de ik.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada temporal de B:
partial Bpartial t = -iomega B
Isso porque a derivada de e^-i omega t em relação ao tempo traz um fator de -iomega.

Passo 6

Substituindo os resultados obtidos na Lei de Faraday:
i k times E = -(-iomega B)
Simplificando os sinais:
i k times E = iomega B
Podemos dividir ambos os lados por i:
k times E = omega B

Passo 7

Chegamos à relação desejada:
k times E = omega B
Isso nos mostra que o vetor de onda k está cruzando com o campo elétrico E para resultar no campo magnético B multiplicado pela frequência angular omega.

Resposta

Concluímos que o vetor de onda k, o campo elétrico E e o campo magnético B são mutuamente perpendiculares entre si. Ou seja, as direções de k, E e B formam um sistema de coordenadas ortogonais onde cada vetor está perpendicular aos outros dois.

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