As soluções da equação de onda eletromagnética podem se escrever
A partir da lei de Faraday, mostre que
. O que podemos concluir sobre as direções de
e
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as soluções para as ondas eletromagnéticas representadas pelas equações de campo elétrico
e campo magnético
. A matéria envolvida aqui é a Eletromagnetismo, mais especificamente as ondas eletromagnéticas e a Lei de Faraday. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Faraday às equações das ondas eletromagnéticas dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Faraday da indução eletromagnética. Ela é expressa pela equação diferencial:
Isso significa que o rotacional do campo elétrico
é igual à taxa de variação temporal negativa do campo magnético
. Nosso objetivo é usar essa lei para relacionar
,
e
.
Passo 3
As soluções das equações de onda para
e
são dadas por:
Aqui,
e
são amplitudes constantes,
é o vetor de onda, e
é a frequência angular da onda.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
,
. Para uma função do tipo
, o operador rotacional age da seguinte maneira:
Isso ocorre porque o operador
aplicado à exponencial traz um fator de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada temporal de
:
Isso porque a derivada de
em relação ao tempo traz um fator de
.
Passo 6
Substituindo os resultados obtidos na Lei de Faraday:
Simplificando os sinais:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 7
Chegamos à relação desejada:
Isso nos mostra que o vetor de onda
está cruzando com o campo elétrico
para resultar no campo magnético
multiplicado pela frequência angular
.
Resposta
Concluímos que o vetor de onda
, o campo elétrico
e o campo magnético
são mutuamente perpendiculares entre si. Ou seja, as direções de
,
e
formam um sistema de coordenadas ortogonais onde cada vetor está perpendicular aos outros dois.