As soluções da equação de onda eletromagnética podem se escrever
A partir da lei de Faraday, mostre que . O que podemos concluir sobre as direções de e ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as soluções para as ondas eletromagnéticas representadas pelas equações de campo elétrico e campo magnético . A matéria envolvida aqui é a Eletromagnetismo, mais especificamente as ondas eletromagnéticas e a Lei de Faraday. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Faraday às equações das ondas eletromagnéticas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Faraday da indução eletromagnética. Ela é expressa pela equação diferencial:
Isso significa que o rotacional do campo elétrico é igual à taxa de variação temporal negativa do campo magnético . Nosso objetivo é usar essa lei para relacionar , e .

Passo 3

As soluções das equações de onda para e são dadas por:
Aqui, e são amplitudes constantes, é o vetor de onda, e é a frequência angular da onda.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de , . Para uma função do tipo , o operador rotacional age da seguinte maneira:
Isso ocorre porque o operador aplicado à exponencial traz um fator de .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada temporal de :
Isso porque a derivada de em relação ao tempo traz um fator de .

Passo 6

Substituindo os resultados obtidos na Lei de Faraday:
Simplificando os sinais:
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 7

Chegamos à relação desejada:
Isso nos mostra que o vetor de onda está cruzando com o campo elétrico para resultar no campo magnético multiplicado pela frequência angular .

Resposta

Concluímos que o vetor de onda , o campo elétrico e o campo magnético são mutuamente perpendiculares entre si. Ou seja, as direções de , e formam um sistema de coordenadas ortogonais onde cada vetor está perpendicular aos outros dois.

Exercícios relacionados

Liste todas as equações de Maxwell na forma integral e diferencial, e discorra brevemente sobre o uso e o impacto de cada Lei.
Verifique que
são soluções das equações de onda para o campo elétrico e magnético.
8.77 Um dublê de cinema (massa ) está em pé sobre a borda de uma janela situada a acima do piso (Figura 8.44). Segurando uma corda amarrada a um candelabro, ele oscila para baixo para atingir o vilão do filme (massa ), que está em pé dire- tamente abaixo do candelabro. (Suponha que o centro de massa do dublê se mova para instante em que atinge o vilão.)
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(a) Determine a frequência, a frequência angular e o número de onda. (Solução: )
(b) Determine a amplitude do campo magnético associado à onda. (Solução: )