Considere a função z = f(x, y) = ln(x - 2y), definida para todo (x, y) do plano, tal que x > 2y, e os pontos P1(3,1), P2(0,-3) e P3(-3,-2). Lembre-se que são válidas as seguintes propriedades para as funções logarítmicas: ln 1 = 0; ln e = 1 e se a,b > 0 então ln(a) = ln(b) se, somente se, a = b. Ao responder as seguintes questões, justifique sempre sua resposta.
a) Existe curva de nível em z = -4 ? Caso afirmativo, obtenha uma equação para tal curva e apresente um ponto sobre ela.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos saber se existe uma curva de nível para . Além disso, precisamos encontrar a equação dessa curva e identificar um ponto que pertence a ela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Em funções de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de pontos (x, y) onde a função assume um valor constante. No nosso caso, queremos saber para quais valores de x e y, a função é igual a .

Passo 3

Vamos igualar a função ao valor dado:
Para resolver essa equação, precisamos eliminar o logaritmo. Lembrando que se , então . Aplicando isso:

Passo 4

A equação representa uma reta no plano . Portanto, essa é a equação da curva de nível para .

Passo 5

Agora, vamos encontrar um ponto que pertence a essa curva. Podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra. Por exemplo, vamos escolher :
Então, um ponto na curva de nível é .

Resposta

Sim, existe uma curva de nível em . A equação dessa curva é , e um ponto sobre ela é .

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