Considere a função
, definida para todo
do plano, tal que
, e os pontos
e
. Lembre-se que são válidas as seguintes propriedades para as funções logarítmicas:
;
e se a,b
então
se, somente se,
. Ao responder as seguintes questões, justifique sempre sua resposta.
a) Existe curva de nível em
? Caso afirmativo, obtenha uma equação para tal curva e apresente um ponto sobre ela.
a) Existe curva de nível em
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e queremos saber se existe uma curva de nível para
. Além disso, precisamos encontrar a equação dessa curva e identificar um ponto que pertence a ela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Em funções de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante. No nosso caso, queremos saber para quais valores de
e
, a função
é igual a
.
Passo 3
Vamos igualar a função ao valor dado:
Para resolver essa equação, precisamos eliminar o logaritmo. Lembrando que se
, então
. Aplicando isso:
Passo 4
A equação
representa uma reta no plano
. Portanto, essa é a equação da curva de nível para
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar um ponto que pertence a essa curva. Podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra. Por exemplo, vamos escolher
:
Então, um ponto na curva de nível é
.
Resposta
Sim, existe uma curva de nível em
. A equação dessa curva é
, e um ponto sobre ela é
.