Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício: Precisamos verificar se a função
é contínua. A função está definida da seguinte maneira:
Matéria envolvida: Continuidade de funções em pontos específicos.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites para verificar essa continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se:
-
está definido, ou seja, a função tem um valor naquele ponto. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, para verificar se
é contínua em
, precisamos checar esses três pontos.
Passo 3
1. Verificando se
está definido:
Olha a definição da função:
Então,
está sim definido.
Passo 4
2. Calculando o limite de
quando
se aproxima de 1:
Vamos calcular:
Nesse limite,
está se aproximando de 1, mas não é exatamente 1. Se tentarmos substituir
, teremos uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos usar a expansão em série de Taylor ou simplificar a expressão.
Vamos simplificar a expressão usando a aproximação para raízes próximas a 1. Sabemos que para
perto de 1:
Substituindo na expressão original:
Portanto:
Passo 5
3. Comparando o limite com
:
Encontramos que:
Como o limite quando
se aproxima de 1 é igual a
, todos os três critérios de continuidade estão satisfeitos.
Resposta
A função
é contínua em
, já que o limite quando
se aproxima de 1 é igual ao valor da função nesse ponto.
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An External Heat Source. Consider the heat conduction problem in a bar that is in thermal contact with an external heat source or sink. Then the modified heat conduction equation is
where the term
describes the effect of the external agency;
is positive for a source and negative for a sink. Suppose that the boundary conditions are
and the initial condition is
Problems 21 through 23 deal with this kind of problem.
Write , where
and
are the steady-state and transient parts of the solution, respectively. State the boundary value problems that
and
, respectively, satisfy. Observe that the problem for
is the fundamental heat conduction problem discussed in Section 10.5, with a modified initial temperature distribution.
Write
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em seu vencimento, foi descontada dois meses antes de seu prazo de resgate. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial era de
ao ano, qual foi o desconto? Qual foi o valor atual comercial?
Um título a vencer no dia 15/06/06 foi descontado no dia 20/04/06. Se o desconto comercial fosse de $ 1.470,00 e a taxa de juros fosse de
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Determinar o desconto racional em cada uma das hipóteses abaixo, considerando os dados na seginte ordem: Valor Nominal, Taxa de juros, Prazo de antecipação.
a) ao mês , 8 meses
b) ao ano, 1 semestre
c) ao dia, 3 meses e 15 dias
a)
b)
c)
a)
b)
c)
a)
b)
c)