Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício: Precisamos verificar se a função
é contínua. A função está definida da seguinte maneira:
Matéria envolvida: Continuidade de funções em pontos específicos.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites para verificar essa continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se:
-
está definido, ou seja, a função tem um valor naquele ponto. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, para verificar se
é contínua em
, precisamos checar esses três pontos.
Passo 3
1. Verificando se
está definido:
Olha a definição da função:
Então,
está sim definido.
Passo 4
2. Calculando o limite de
quando
se aproxima de 1:
Vamos calcular:
Nesse limite,
está se aproximando de 1, mas não é exatamente 1. Se tentarmos substituir
, teremos uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos usar a expansão em série de Taylor ou simplificar a expressão.
Vamos simplificar a expressão usando a aproximação para raízes próximas a 1. Sabemos que para
perto de 1:
Substituindo na expressão original:
Portanto:
Passo 5
3. Comparando o limite com
:
Encontramos que:
Como o limite quando
se aproxima de 1 é igual a
, todos os três critérios de continuidade estão satisfeitos.
Resposta
A função
é contínua em
, já que o limite quando
se aproxima de 1 é igual ao valor da função nesse ponto.