Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta:

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício: Precisamos verificar se a função é contínua. A função está definida da seguinte maneira:
Matéria envolvida: Continuidade de funções em pontos específicos.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites para verificar essa continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. está definido, ou seja, a função tem um valor naquele ponto.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, para verificar se é contínua em , precisamos checar esses três pontos.

Passo 3

1. Verificando se está definido:
Olha a definição da função:
Então, está sim definido.

Passo 4

2. Calculando o limite de quando se aproxima de 1:
Vamos calcular:
Nesse limite, está se aproximando de 1, mas não é exatamente 1. Se tentarmos substituir , teremos uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos usar a expansão em série de Taylor ou simplificar a expressão.
Vamos simplificar a expressão usando a aproximação para raízes próximas a 1. Sabemos que para perto de 1:
Substituindo na expressão original:
Portanto:

Passo 5

3. Comparando o limite com :
Encontramos que:
Como o limite quando se aproxima de 1 é igual a , todos os três critérios de continuidade estão satisfeitos.

Resposta

A função é contínua em , já que o limite quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função nesse ponto.

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