An External Heat Source. Consider the heat conduction problem in a bar that is in thermal contact with an external heat source or sink. Then the modified heat conduction equation is
u_t = alpha^2 u_xx + s(x)
where the term s(x) describes the effect of the external agency; s(x) is positive for a source and negative for a sink. Suppose that the boundary conditions are
u(0, t) = T1, u(L, t) = T2
and the initial condition is
u(x, 0) = f(x)
Problems 21 through 23 deal with this kind of problem.
Write u(x, t) = v(x) + w(x, t), where v and w are the steady-state and transient parts of the solution, respectively. State the boundary value problems that v(x) and w(x, t), respectively, satisfy. Observe that the problem for w is the fundamental heat conduction problem discussed in Section 10.5, with a modified initial temperature distribution.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre condução de calor em uma barra que está em contato com uma fonte ou sumidouro de calor externo. A gente tem uma equação de condução de calor modificada que inclui um termo s(x), representando essa fonte ou sumidouro. As condições de contorno são dadas nas extremidades da barra, e também temos uma condição inicial para a temperatura. Nosso objetivo aqui é dividir a solução u(x, t) em duas partes: uma estacionária v(x) e uma transitória w(x, t). Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais e problemas de valor de contorno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a solução total da temperatura u(x, t) em duas partes:
Aqui, v(x) é a parte estacionária, que não depende do tempo, e w(x, t) é a parte transitória, que descreve como a temperatura varia com o tempo até alcançar o estado estacionário.

Passo 3

Vamos substituir na equação de condução de calor:
Derivando em relação ao tempo:
Como v(x) é estacionário, sua derivada temporal é zero:
Para separar as equações, queremos que os termos que dependem apenas de x (estacionários) e os que dependem de t (transitórios) sejam equacionados separadamente. Então, igualamos os termos estacionários a zero para encontrar v(x):

Passo 4

Agora, vamos determinar as condições de contorno para cada parte da solução.
Para a parte estacionária v(x):
Isso porque queremos que, no estado estacionário, a temperatura nas extremidades seja constante e igual às condições de contorno dadas.
Para a parte transitória w(x, t), como e as condições de contorno para u são fixas, temos:
Além disso, a condição inicial para w(x, t) é obtida subtraindo a parte estacionária da condição inicial de u:

Resposta

As condições de valor de contorno para v(x) e w(x, t) são:
Para a parte estacionária v(x):
com
Para a parte transitória w(x, t):
com
e a condição inicial

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