Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0 ; y = 2 x^2 - x^2 ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e uma função dada. Nosso trabalho é verificar se essa função realmente resolve a equação. Isso é parte da matéria de Equações Diferenciais. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função e substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que nos foi dada:
A gente precisa encontrar as derivadas dessa função.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada . Para isso, usamos as regras de derivação:
A derivada de é . Para a segunda parte, usamos a regra do produto:
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Simplificando:

Passo 5

Com , e em mãos, vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo cada termo:

Passo 6

Vamos simplificar cada parte:
Somando tudo:

Resposta

Sim, a função é uma solução para a equação diferencial dada.

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