Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para classificar a equação diferencial dada, identificando sua ordem e grau algébrico. Além disso, temos que verificar se a função é uma solução dessa equação. Vamos precisar entender o que são ordem e grau de uma equação diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem de uma equação diferencial é o maior derivado presente nela. Olhando para a equação:
A derivada mais alta é , que é a primeira derivada. Então, a ordem da equação é 1.

Passo 3

Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação diferencial. O grau é o expoente da derivada mais alta quando a equação está polinomial em relação a essa derivada. Primeiro, precisamos reescrever a equação para deixar explícita a relação polinomial.
A equação original é:
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Agora, temos a equação polinomial em termos de . O termo de maior potência de é , então o grau algébrico é 2.

Passo 4

Agora vamos verificar se a função é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a derivada de e substituir na equação original.
Primeiro, calculamos :

Passo 5

Substituímos e na equação diferencial:
Substituindo:
Vamos simplificar cada lado:
Lado Esquerdo (LE):
Lado Direito (LD):
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar a igualdade para os casos e .
Para :
Então, para , a igualdade vale quando .
Para :
Isso não tem solução real, pois é sempre positivo e não pode ser igual a um número negativo.

Resposta

A equação diferencial dada é de 1ª ordem e grau algébrico 2. A função é solução da equação apenas no caso , especificamente quando . Para , não existe solução real que satisfaça a equação.

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;
Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.