Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para classificar a equação diferencial dada, identificando sua ordem e grau algébrico. Além disso, temos que verificar se a função
é uma solução dessa equação. Vamos precisar entender o que são ordem e grau de uma equação diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem de uma equação diferencial é o maior derivado presente nela. Olhando para a equação:
A derivada mais alta é
, que é a primeira derivada. Então, a ordem da equação é 1.
Passo 3
Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação diferencial. O grau é o expoente da derivada mais alta quando a equação está polinomial em relação a essa derivada. Primeiro, precisamos reescrever a equação para deixar explícita a relação polinomial.
A equação original é:
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Agora, temos a equação polinomial em termos de
. O termo de maior potência de
é
, então o grau algébrico é 2.
Passo 4
Agora vamos verificar se a função
é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a derivada de
e substituir na equação original.
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Vamos simplificar cada lado:
Lado Esquerdo (LE):
Lado Direito (LD):
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar a igualdade
para os casos
e
.
Para
:
Então, para
, a igualdade vale quando
.
Para
:
Isso não tem solução real, pois
é sempre positivo e não pode ser igual a um número negativo.
Resposta
A equação diferencial dada é de 1ª ordem e grau algébrico 2. A função
é solução da equação apenas no caso
, especificamente quando
. Para
, não existe solução real que satisfaça a equação.
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;
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