Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem, do tipo linear. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar conhecer o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão, que é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, precisamos achar o fator integrante (
), que é dado por:
Como
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação para resolver para
:
Simplificando o lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral no lado direito:
Vamos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Usando integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Segunda integral:
Esta integral não possui uma solução elementar em termos de funções básicas, então podemos expressá-la em termos da função Ei (Função Integral Exponencial):
Passo 8
Voltando à expressão original:
Agora, vamos isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária e
representa a Função Integral Exponencial.
Exercícios relacionados
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos
e
.
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
.