Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem, do tipo linear. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar conhecer o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão, que é:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, precisamos achar o fator integrante ( ), que é dado por:
Como , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação para resolver para :
Simplificando o lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral no lado direito:
Vamos simplificar a fração:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Segunda integral:
Esta integral não possui uma solução elementar em termos de funções básicas, então podemos expressá-la em termos da função Ei (Função Integral Exponencial):

Passo 8

Voltando à expressão original:
Agora, vamos isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária e representa a Função Integral Exponencial.

Exercícios relacionados

Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos e .
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
.