Verifique que a função f(x, y)=ln (e^x+e^y) é uma solução das equações diferenciais partial fpartial x+partial fpartial y=1 e partial^2 fpartial x^2 partial^2 fpartial y^2-(partial^2 fpartial x partial y)^2=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função e precisamos verificar se ela satisfaz duas equações diferenciais. Isso envolve calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções logarítmicas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de partial fpartial x = ddx ln (e^x + e^y) = e^xe^x + e^y em relação a partial fpartial y = ddy ln (e^x + e^y) = e^ye^x + e^y e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos somar as duas derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x + partial fpartial y = e^xe^x + e^y + e^ye^x + e^y = e^x + e^ye^x + e^y = 1
Portanto, a primeira equação diferencial é satisfeita pela função .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, para partial^2 fpartial x^2 = ddx ( e^xe^x + e^y ) = e^x(e^x + e^y) - e^x cdot e^x(e^x + e^y)^2 = e^x e^y(e^x + e^y)^2 :
partial^2 fpartial y^2 = ddy ( e^ye^x + e^y ) = e^y(e^x + e^y) - e^y cdot e^y(e^x + e^y)^2 = e^x e^y(e^x + e^y)^2
Para partial^2 fpartial x partial y = ddy ( e^xe^x + e^y ) = -e^x e^y (e^x + e^y)^2 :
E para :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na segunda equação diferencial:
partial^2 fpartial x^2 cdot partial^2 fpartial y^2 - ( partial^2 fpartial x partial y )^2
Substituindo os valores:
( e^x e^y(e^x + e^y)^2 ) cdot ( e^x e^y(e^x + e^y)^2 ) - ( -e^x e^y (e^x + e^y)^2 )^2
Simplificando:
e^2x e^2y(e^x + e^y)^4 - e^2x e^2y(e^x + e^y)^4 = 0

Resposta

A função partial fpartial x + partial fpartial y = 1 e partial^2 fpartial x^2 partial^2 fpartial y^2 - (partial^2 fpartial x partial y)^2 = 0 satisfaz ambas as equações diferenciais propostas, ou seja:

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