Verifique que a função
é uma solução das equações diferenciais
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função
e precisamos verificar se ela satisfaz duas equações diferenciais. Isso envolve calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções logarítmicas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos somar as duas derivadas parciais de primeira ordem:
Portanto, a primeira equação diferencial
é satisfeita pela função
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, para
:
Para
:
E para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na segunda equação diferencial:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A função
satisfaz ambas as equações diferenciais propostas, ou seja: