Mostre que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo. Isso tá no assunto de Cálculo Vetorial, onde a gente trabalha com operações como gradiente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o gradiente de um campo escalar e o rotacional de um campo vetorial, além de aplicar algumas propriedades dessas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de um campo escalar. Se temos uma função escalar
, o gradiente dela, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado por:
Então, o gradiente transforma uma função escalar em um campo vetorial.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial
, o rotacional, denotado por
, é outro campo vetorial que mede a tendência das componentes de
de girar ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Passo 4
Nosso objetivo é calcular o rotacional do gradiente de
, ou seja,
. Vamos substituir o gradiente de
na fórmula do rotacional:
Aplicando a definição do rotacional:
Passo 5
Agora, note que todas essas segundas derivadas mistas são iguais, assumindo que
é suficientemente suave (continua e diferenciável). Ou seja:
e o mesmo vale para as outras componentes. Portanto, cada componente do rotacional cancelará, resultando em:
Resposta
O rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é o vetor nulo, ou seja:
Exercícios relacionados
Deduza a expressão para
e
para um corpo se movendo em uma superfície horizontal sujeito à uma força de arrasto quadrática, ou seja, da forma
. Resp:
e
.
, onde
A velocidade de uma partícula de massa
varia com a distância
da forma
condições iniciais
quando
. a) Ache a força
. b) Ache
. Resp: a)
b)
Se as funções de onda
e
são três soluções da equação de Schroedinger para uma energia potencial particular
, mostre que a combinação linear arbitrária
também é uma solução desta equação. Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes.
Verifique que a função de onda
é uma solução para a equação de Schroedinger na região
, para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela.