Mostre que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo. Isso tá no assunto de Cálculo Vetorial, onde a gente trabalha com operações como gradiente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o gradiente de um campo escalar e o rotacional de um campo vetorial, além de aplicar algumas propriedades dessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de um campo escalar. Se temos uma função escalar nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) , o gradiente dela, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é dado por:
Então, o gradiente transforma uma função escalar em um campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) , o rotacional, denotado por , é outro campo vetorial que mede a tendência das componentes de de girar ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional é:

Passo 4

Nosso objetivo é calcular o rotacional do gradiente de nabla times (nabla f) = nabla times ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) , ou seja, nabla times (nabla f) = ( partialpartial y(partial fpartial z) - partialpartial z(partial fpartial y), partialpartial z(partial fpartial x) - partialpartial x(partial fpartial z), partialpartial x(partial fpartial y) - partialpartial y(partial fpartial x) ) . Vamos substituir o gradiente de na fórmula do rotacional:
Aplicando a definição do rotacional:

Passo 5

Agora, note que todas essas segundas derivadas mistas são iguais, assumindo que partialpartial y(partial fpartial z) = partialpartial z(partial fpartial y) é suficientemente suave (continua e diferenciável). Ou seja:
nabla times (nabla f) = (0, 0, 0)
e o mesmo vale para as outras componentes. Portanto, cada componente do rotacional cancelará, resultando em:

Resposta

O rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é o vetor nulo, ou seja:
nabla times (nabla f) = 0

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