Mostre que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo. Isso tá no assunto de Cálculo Vetorial, onde a gente trabalha com operações como gradiente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o gradiente de um campo escalar e o rotacional de um campo vetorial, além de aplicar algumas propriedades dessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de um campo escalar. Se temos uma função escalar , o gradiente dela, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é dado por:
Então, o gradiente transforma uma função escalar em um campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial , o rotacional, denotado por , é outro campo vetorial que mede a tendência das componentes de de girar ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional é:

Passo 4

Nosso objetivo é calcular o rotacional do gradiente de , ou seja, . Vamos substituir o gradiente de na fórmula do rotacional:
Aplicando a definição do rotacional:

Passo 5

Agora, note que todas essas segundas derivadas mistas são iguais, assumindo que é suficientemente suave (continua e diferenciável). Ou seja:
e o mesmo vale para as outras componentes. Portanto, cada componente do rotacional cancelará, resultando em:

Resposta

O rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é o vetor nulo, ou seja:

Exercícios relacionados

Deduza a expressão para e para um corpo se movendo em uma superfície horizontal sujeito à uma força de arrasto quadrática, ou seja, da forma . Resp: e . , onde
A velocidade de uma partícula de massa varia com a distância da forma condições iniciais quando . a) Ache a força . b) Ache . Resp: a) b)
Se as funções de onda e são três soluções da equação de Schroedinger para uma energia potencial particular , mostre que a combinação linear arbitrária também é uma solução desta equação. Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes.
Verifique que a função de onda
é uma solução para a equação de Schroedinger na região , para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela.