Mostre que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo. Isso tá no assunto de Cálculo Vetorial, onde a gente trabalha com operações como gradiente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o gradiente de um campo escalar e o rotacional de um campo vetorial, além de aplicar algumas propriedades dessas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de um campo escalar. Se temos uma função escalar
, o gradiente dela, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado por:
Então, o gradiente transforma uma função escalar em um campo vetorial.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial
, o rotacional, denotado por
, é outro campo vetorial que mede a tendência das componentes de
de girar ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Passo 4
Nosso objetivo é calcular o rotacional do gradiente de
, ou seja,
. Vamos substituir o gradiente de
na fórmula do rotacional:
Aplicando a definição do rotacional:
Passo 5
Agora, note que todas essas segundas derivadas mistas são iguais, assumindo que
é suficientemente suave (continua e diferenciável). Ou seja:
e o mesmo vale para as outras componentes. Portanto, cada componente do rotacional cancelará, resultando em:
Resposta
O rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é o vetor nulo, ou seja: