Verifique se a função F(x) é uma primitiva da função f(x) (ou seja, se F'(x) = f(x) ). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
a) Para f(x) = x / raiz(a + b x), temos
F(x) = (2 / (3 * b^2)) * (b * x - 2 * a) * raiz(a + b * x) + C
Certifique-se de calcular F'(x) para confirmar a relação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa verificar se a função é uma primitiva da função . Isso quer dizer que vamos calcular a derivada de e conferir se ela é igual a . Para isso, vamos usar as regras de derivação e depois expressar as relações em forma de integral indefinida.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que a gente quer verificar:
Nossa missão é encontrar a derivada dessa função, , e ver se ela dá exatamente .

Passo 3

Vamos derivar . A constante e (a constante de integração) vão desaparecer na derivação, então focaremos na parte .

Passo 4

Para derivar , vamos usar a regra do produto: se temos duas funções multiplicando, a derivada delas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 5

Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos . Lembrando que , a derivada fica:

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Simplificando o segundo termo:
Agora, colocando tudo junto:

Passo 8

Para somar essas duas frações, vamos colocar o primeiro termo com o mesmo denominador:

Passo 9

Expandindo os termos no numerador:
Somando:

Passo 10

Então, a derivada fica:
Lembrando que a derivada de tinha a constante , então multiplicamos:
Isso é exatamente !

Resposta

Sim, a função é uma primitiva de , pois . Portanto, podemos escrever a relação na forma de integral indefinida:

Exercícios relacionados

Questão-12. Esboce a região de integração em cada caso
a) integral1^2 integral0^2 x x y^3 d y d x
Considere que a função velocidade (v(t)) de um corpo é dada por v(t)=t sec ^2(2 t), em que t é o tempo dado em segundos. Calcule a função posição s(t) dada por s(t)=integral v(t) d t.
Verifique se a função F(x) é uma primitiva da função f(x) (ou seja, se F'(x) = f(x) ). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
b) Para f(x) = cos^3(x), a primitiva é
F(x) = sen(x) - 1/3 * sen^3(x) + C
Certifique-se de calcular F'(x) para confirmar a relação.
Calcule a área sob a curva f(x) = e^(arctan(x)) / (1 + x^2) no intervalo de [-1, 1].