Verifique se a função
é uma primitiva da função
(ou seja, se
). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
a) Para
, temos
Certifique-se de calcular
para confirmar a relação.
a) Para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa verificar se a função
é uma primitiva da função
. Isso quer dizer que vamos calcular a derivada de
e conferir se ela é igual a
. Para isso, vamos usar as regras de derivação e depois expressar as relações em forma de integral indefinida.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
que a gente quer verificar:
Nossa missão é encontrar a derivada dessa função,
, e ver se ela dá exatamente
.
Passo 3
Vamos derivar
. A constante
e
(a constante de integração) vão desaparecer na derivação, então focaremos na parte
.
Passo 4
Para derivar
, vamos usar a regra do produto: se temos duas funções multiplicando, a derivada delas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 5
Primeiro, derivamos
:
Depois, derivamos
. Lembrando que
, a derivada fica:
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 7
Simplificando o segundo termo:
Agora, colocando tudo junto:
Passo 8
Para somar essas duas frações, vamos colocar o primeiro termo com o mesmo denominador:
Passo 9
Expandindo os termos no numerador:
Somando:
Passo 10
Então, a derivada fica:
Lembrando que a derivada de
tinha a constante
, então multiplicamos:
Isso é exatamente
!
Resposta
Sim, a função
é uma primitiva de
, pois
. Portanto, podemos escrever a relação na forma de integral indefinida:
Exercícios relacionados
Questão-12. Esboce a região de integração em cada caso
a)
a)
Considere que a função velocidade
de um corpo é dada por
, em que
é o tempo dado em segundos. Calcule a função posição
dada por
.
Verifique se a função
é uma primitiva da função
(ou seja, se
). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
b) Para , a primitiva é
b) Para
Certifique-se de calcular
para confirmar a relação.
Calcule a área sob a curva
no intervalo de
.